四角形の面積 (3)

【平面-⑨】レベルB
図のような、AB＝AD＝9㎝の四角形ABCDの面積を求めなさい。 pic.twitter.com/wp8OLAtOjv

— 算数ソムリエ (@sansu_sommelier) 2016年5月26日

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解答:
これは珍しく小学生の知識だけで解ける。
先ず BD を結ぶと △ABD は直角二等辺三角形である。 従って $\angle{ABD}=\angle{ADB} = 45^\circ$.
従って $\angle{DBC} = 75^\circ - 45^\circ = 30^\circ$.
$\angle{BDC} = 120^\circ - 45^\circ = 75^\circ$.
従って, $\angle{BCD} = 180^\circ - (30^\circ - 75^\circ) = 75^\circ $.
故に △BCD は BC = BD の二等辺三角形である。
さて, A から辺 BD に降ろした垂線の長さを x とすると x = BD/2 となる。
そして, C から辺 BD に降ろした垂線の長さも ($\angle{DBC} = 30^\circ$ だから) 矢張り BC/2 = BD/2 = x となる。
だから △ABD = △BCD なので, 求める面積は 9・9 = 81 $\rm{cm}^2$.

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これは, 二等辺三角形が出てきて, しかも辺 BD の長さとか, 三角形の高さとかを直接出さなくてもちゃんと面積が出るところが良問。

四角形の面積 (2)

算数の図形の問題です。 pic.twitter.com/YRkai5TYUr

— 数楽者 (@educa_math) 2016年5月30日

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解答:

AD を結ぶと $\angle{ABD} = 45^\circ$ なのだから, $\angle{CBD} = 15^\circ$ である。
辺 BC 上に, (三角函数の加法定理を避ける為に) 点 E を BE = DE となるようにとると, $\angle{EDB} = \angle{EBD} = 15^\circ$ であるから, $\angle{DEC} = 30^\circ$ である。
今, DC = x cm と置くと, 良く知られているように BE = ED = 2x cm, $EC = \sqrt{3}x$ cm であるから, $BC = BE + EC = (3 + \sqrt{3})x$ cm である。
従って $(3 + \sqrt{3})x = 10$ でなければならず, $x = \ds{5\over3}(3-\sqrt{3})$ でなければならない。
従って $BC = (2 + \sqrt{3})\cdot\ds{5\over3}(3-\sqrt{3}) = \ds{5\over3}(3 + \sqrt{3})$ であり, 三平方の定理から
$BD = \ds{{5\over3}\sqrt{(3-\sqrt{3})^2+(3+\sqrt{3})^2}} = \ds{10\over3}\sqrt{6}$
となるので, 求める面積は
$\ds{{1\over2}\left({10\sqrt{3}\over3}\right)^2 + {1\over2}\cdot{5\over3}(3 + \sqrt{3})\cdot{5\over3}(3-\sqrt{3})} = 25$.

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これは書物に出ているらしいので, 中学校受験生としての解答を是非とも教えて欲しいものだが, 前回の様な似非解答を作ってみると:
BC + CD = 10 cm なのだから, 正方形化すれば, 一辺が 10/2 = 5 cm の正方形になるに違いない。
だから面積は $5^2 = 25\ \rm{cm}^2$ となって, 数値だけなら合っている。

因みに, 上記の解答は中学三年生ならば出来るように書いてある。
前回のもそう。

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こちらも跡見学園のものに合わせて考えると, A を中心にして, BC と CD がつながるように四つ配置すれば, 一辺が 10 cm の正方形になるのだから $\ds{10^2\over4} = 25\ \rm{cm}^2$ となる。
(19th Nov 2017)

四角形の面積 (1)

跡見学園の中学入試問題。
一見簡単そうだが、意外と難しい。 pic.twitter.com/b5Ids8ioIS

— 松本亘正 (@matsumoto1116) 2016年5月7日

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解答:

問題の辺 AB の長さを x cm と置く。三平方の定理により
$AC = \sqrt{x^2 + 100}$
である。 △ACD は直角二等辺三角形なので, $AD = CD = \ds{\sqrt{x^2 + 100}}$.
面積が $64\ \rm{cm}^2$ であることから
$\ds{{1\over2}\cdot10x + {1\over2}\sqrt{{x^2 + 100}\over{2}}^2} = 64$.
$20x + x^2 + 100 = 256$.
$x^2 + 20x - 156 = 0$
$(x +26)(x - 6) = 0$
$x > 0$ より $x = 6$.

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この解答は三つの点で, 小学生の解答を逸脱している。 一つは三平方の定理を用いている点。 二つ目は平方根を用いている点。 もう一つは二次方程式を使っている点。
しかし, 少なくともこの問題に関しては, 小学校の範囲を逸脱せずには融けないのではないかと思っている。 実際 $AC = 2\sqrt{34}$, $AC = DC = \sqrt{68}$ で, 根号を避けられそうにはないのである。
これを含めて, 後二つの問題を見てみると, 類似点が良く見つかる。
一つは四角形の面積と辺の問題であること。
直角二等辺三角形を含んでいること。 (四角形を対角線で分割して直角三角形が一つ出現すること)
面積が何故か平方数であること。
そこで考えたのは, 小学生は次のようにして解くのではないかと推論した。
但し, 数学的に正しくはないし, それが正しいことを小学生は確認できないということも十分分ってはいる。

さて, この問題では次のように考える。
面積が 64 $\rm{cm}^2$ だから, 正方形にするとその一辺は 8 cm である。
すると隣り合う二辺の和は 16 cm である。
然るに BC = 10 cm なのだから AB = 16 - 10 = 6 cm なのに違いない。
きっとこの問題はそう推論して答えが合うように上手く調節してあるのに違いないと思うのだが, 果たして真相やいかに。

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後 (19th Nov 2017) でこういう記事を見つけた。
他にもこういういい方法があるかもしれない。

角度(小学校の問題)

次の図は一辺 1 の方眼紙である。
図の ∠A + ∠B は何度になるか。 (小学生の問題)

解答: 図の様に ∠B を移動させて, B の斜辺を延長してつなぐ。


図の上の辺と右の辺は共に 1 × 3 の長方形の対角線だから長さが等しい。 しかも図の描き方から右上の角は直角である。 従ってこの三角形は直角二等辺三角形なのだから ∠A + ∠B = 45°ということになる。

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これは結局, tan α = 1/2, tan β = 1/3 とした時に, 加法定理を使って
tan(α+β) = (tan α + tan β)/(1 - tan α tan β) = (1/2 + 1/3)/(1 - 1/6) = 1
をやっているのと同じだなあ, ということに気付く。
そうすると, 同様に π/4 という角度を出すのに, 一方の角の tangent を a とする時, もう一方 x は 1 = (a + x)/(1 - ax) だから, a + x = 1 - ax より x = (1 - a)/(1 + a) となって, a が有理数なら, もう一方の pair も有理数だなあということも分かる。

数学 I (三角形)

shinon

AB = 9, BC = 7, CA = 8 の △ABC があり, △ABC の外接円の中心を O, 直線 CO と △ABC の外接円の交点の C でない方を D とする。
辺 AB と直線 CD の交点を E とするとき, 線分 AE の長さを求めよ。

という問題です。 ご教授よろしくお願いいたします。

2012-03-01 22:55:18
http://nazolab.net/qa/q/491

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少し待っていたのですが, どちらからも回答がないようですので。
次のように考えてみたのですがいかがでしょうか。
只, もっと簡単な方法があるのではないかと危惧しております。
どなたかご存じ, 若しくは思い付きましたらご教授お願いいたします。

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解答:

△ABC で (第二) 余弦定理から
cos A = (8² + 9² - 7²)/(2・8・9) = 2/3.
cos B = 11/21, cos C = 2/7.
0°²) = (√5)/3.
正弦定理より CO = R = a/(2sin A) = 21/(2√5) = 21(√5)/10.
さて, △AOB で (円周角定理から) ∠AOB = 2C, AO = BO なので
∠OAB = ∠OBA = (180°- 2C)/2 = 90°- C.
同様に △AOC で ∠ACO = 90°- B.
以下, 簡単の為, θ = ∠AEC とする。
△ACE で (CE = CO + OE = R + OE だから) 正弦定理より
AE/sin(90°- B) = 8/sinθ = (R + OE)/sin A …… (1).
左半分より AE = 8cos B/sinθ ……… (2).
△AOE で OA = R だから正弦定理より
OE/sin(90°- C) = R/sinθ. 従って OE = Rcos C/sinθ.
これを (1) の右半分に代入すると
8/sinθ = R(1 + cos C/sinθ)/sin A.
8sin A = R(sinθ + cos C)
従って sinθ = (8/R)sin A - cos C = (8/(21/(2√5)))・(√5)/3 - 2/7 = 62/63.
よって (2) から
AE = 8・(11/21)/(62/63) = 132/31.