位相空間の連続全単射

red_cat
X を位相空間とし, f: X→X を連続全単射とします。 また, 両方の X には同じ位相が入っているものとします。 このとき f^-1 は連続になるでしょうか? 何となく反例がありそうだ, との予想が立っていますが, どうでしょうか?
2010-12-09 23:58:29

---

解答:
K_George
二元以上含む集合 A の整数で添字付けられた可算個のコピー A_n たちを考え, 負のに対しては A_n に離散位相を, 非負の A_n に対してはに密着位相を入れて, X を A_n たちの直和とする。 f: X→X を A_n から A_{n + 1} への恒等写像たちを繋ぎ合せて出来る写像とすれば, f は全単射連続写像ですが f^-1 は連続ではありません。
2010-12-10 14:15:04
furrina
George さんの例を少し変更すると Hausdorff 空間で反例が作れるようです。
g: A→B
を Hausdorff 空間間の全単射連続写像で f^-1 が連続でないものとします。
(例えば g:[0, 1)→R/Z, g(x) = [x])
A_n (n ∈ Z を
A_n = A (n ≦ 0), B (n ≧ 1)
と定め K.George さんと同じように X を A_n たちの直和とし f: X→X を
f(A_n) = A_n+1
で
f|A = id_A (n ≦ -1), g (n = 0), id_B (n ≧ 1)
となるものとして定めればいいです。
2010-12-30 22:22:38
やはり K.George さんの例を少し変更すると compact 空間で反例が作れるようです。
Compact かつ Hausdorff なら同相になりますが, このどちらの条件もはずせないということのようです。
K.George さんの例で特に A を有限集合と採ります.
今度は直和でなく直積
Y = Π_n=-∞^∞ A_n
を考え h: Y→Y を
h({a_n}_n=-∞^∞) = {a_n-1}_n=-∞^∞
と定めます. すると Y は compact で h は全単射かつ連続ですが h^-1 は連続ではありません.
2010-12-31 00:56:09

---

furrina
できるだけ簡単な平面集合ということで考えてみました。
X = {(x, y)| y ≧ 0 or y ^-1 が連続でないものが, 以下のようにして作れるようです。
X は位相的には境界の一部を含む円板です。 基本的には, やはり K.George さんの例の焼き直しです。
g(x) = 0 (x ≧ 0), x (x < 0)
として
f(x, y) = (x + 1, y) (y ≧ 0), (x + 1, y + g(x + 1) - g(x) (y < 0)
と定めればいいです。 f は, x 軸を境と見てファスナーを少し閉じる写像となっています。
2011-01-05 22:19:52