領域

質問 <3799> 2010/8/12 from = 悟
「領域」

x² + 3y ≧ 12, x² + y² - 6x - 6y + 8 ≦ 0 の時
x² + y² の最大・最小がわかりません。 教えてください。

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解答:
Maxima で draw(gr2d(ellipse(3,3,sqrt(10),sqrt(10),0,360),explicit(-x^2/3+4,x,-4,4))); とでもやって graph を描かせてみると分かるように, 領域は放物線の上側, 円の内側になっている。
この円は (0, 4) を通っていて, z = x² + y² と置くと, ここでは z = 16. (因みにもう一つの交点の x 座標は (sqrt(730)+27)^(1/3)-1/(sqrt(730)+27)^(1/3) となるらしいが, 明らかにこの点は (0, 4) より遠い)
放物線に接する時, x² = 12 - 3y として代入すると,
y² - 3y + 12 - z = 0.
(y に関し) 判別式を採って, D = 9 - 4(12 - z) = 4z - 39 = 0 より z = 39/4 (= 9.75 ² + y² - 6x - 6y + 8 = 0 に z = x² + y² を代入すると -6x - 6y + 8 + z = 0. 即ち y = (-6x + 8 + z)/6. これを z = x² + y² に代入して, (x に関し) 判別式を採り, D/4 = -36(z² - 56z + 64) = 0. 解くと z = 278 ± 6√2145 28 ± 12√5. 明らかに複号が - の方は, 原点に近い方で接しているので, + の方。
従って, 39/4 ≦ z ≦ 278 + 6√2145 28 ± 12√5. (因みに 2145 = 3・5・11・13 なので, これ以上簡単にはならない)

[今回は大分 Maxima のお世話になった]
[Tue 17th Aug, 2010 に訂正]


画像を 2010/8/19 に投稿。
画像の説明:
青の線:
円: x^2 + y^2 - 6x - 6y + 8 = 0.
放物線: x^2 + 3y = 12.

赤い線:
内側: x^2 + y^2 = 39/4.
外側: x^2 + y^2 = 28 + 12√5.

緑の破線(参考):
x^2 + y^2 = 28 - 12√5.