行列式

線形代数 等式の証明です。 kazu799

問題を解いていて、この問題でつまづいてしまいしました。

どなたか, この問題わかる方がおりましたら、ご教授お願いします。

問. 次の等式を証明せよ。
δ_ij = n (i ≠ j),
　　 = i (i = j)
A = (δ_ij)
とするとき,
|A| = (-1)^n-1 n! となることを証明せよ。

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この δ_ij は通常 Kronecker の δ として用いられるものと違うし, 原文では証明すべき式の左辺が A なのが一寸気になるのだが, そこは好意的に解釈することにする。

証明:
要するに, 行列 A は

1 n n n … n n
n 2 n n … n n
n n 3 n … n n
n n n 4 … n n
………………
n n n n … n-1 n
n n n n … n n

だから, 行列式を計算する時, 全ての行から, 最後の行を引けば

1-n 0 0 0 … 0 0
0 2-n 0 0 … 0 0
0 0 3-n 0 … 0 0
0 0 0 4-n … 0 0
………………
0 0 0 0 … -1 0
n n n n … n n

となる。
従って, n 列展開すれば得られる。