√x が整数 (x = y^2 + 3y + 54, yは自然数） になる y

QNo.6172311 112233445
既出の質問 √x が整数 (x = y^2 + 3n + 54, yは自然数) になる y はいくつでしょうか
で, もしも, (x=y^2 ＋3y＋54 yは自然数）になるｙはいくつでしょうか
になれば, y を求められるでしょうか。

よく使う手で y^2 + 3y + 54 = k^2 自然数 k > 0 とおく。 とやって,
左辺に平方の形をつくる。 となるけれど, 3y でうまくいかない。
3y = 2y + y にしてみてもあとが, 続かない。
よろしくおねがいします。

投稿日時 - 2010-09-10 15:40:09

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解答:
答は (y, x) = (2, 8^2), (15, 18^2), (50, 52^2) だが。
4x = (2y + 3)² + 207 まで分かった。
ここで x = t², n = 2y + 3 と置くと,
4t² - 207 = n².
これは Pell 方程式に似ている。 が, t² の係数が 4 で平方数だから, そこが決定的に違う。

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以下そこでの ANo.1 nag0720 及び ANo.2 mister_moonlight に従うと
4t² - n² = 207 (こうやって移項しておけば気付いたのに!)
(2t - n)(2t + n) = 3²・23.
t > 3√6 > 6, n = 2y + 3 ≧ 3 に注意すると, 2t + n > 9 だから,
(2t - n, 2t + n) = (1, 207), (3, 69), (9, 23) の三通り以外にはありえない。
各々 (t, n) = (52, 103), (18, 33), (8, 7) で, つまり (x, y) = (52^2, 50), (18^2, 15), (8^2, 2) である。

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ANo.3 pasocom の解答には重大な欠陥がある。
y^2 + 3y + 54 = (y + c)^2 と置く。 (もちろん c は整数)
すると, (y + c)^2 = y^2 + 2cy + c^2
よって,
3y + 54 = 2cy + c^2
y = (54 - c^2)/(2c - 3).
y は自然数 (正の数) だから,
c=2,3,4,5,6,7
しかあり得ない。
[というのがおかしくて, 分子 > 0, 分母 > 0 ならば確かに
3/2 < c < √54 < √64 = 8.
だからそうなるが, 分子 < 0, 分母 < 0 を見落としていて, この時
c < -3√6 < -7 なので, 候補が無限にある。 (例えば, c = -8 ならば y = (-10)/(-19) = 10/19 で, 整数にはならないが, 正の数にはなる) この後半部分で何故整数解が出ないのかの議論が欠けている。 そこの議論が出来たとすると, 以下は正しい]
c = 2 の時, y = 50.
c = 3 の時, y = 45/3 = 15
c = 4 の時, y = 38/5 →不適
c = 5 の時, y = 29/7 →不適
c = 6 の時, y = 18/9 = 2
c = 7 の時, y = 5/11 →不適
(この後の, 「よって, 答は 3」 というのは問題文を読み間違えたのだろう)