n - 1 次方程式

Rinlan

複素数 z についての方程式 zⁿ = (z - 1)^{n - 1} (n は自然数) の解を n の式で表すことは可能でしょうか?
|z| = |z - 1| が必要であることから z = 1/2 + iy の形になることまでは分かったのですが。
よろしくお願いします。

2011-06-09 21:49:45

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解答:
先ず z = a + bi (a, b ∈ R ) とすると
a² + b² = (a - 1)² + b²
だから, 0 = -2a + 1 となって, a = 1/2 ということが分かる。
rascal 氏の解答
(補足: z - 1 = -1/2 + iy であるから)
θ = arg z (-π/2 < θ < π/2) とすると
nθ = n(π - θ) - 2kπ
故に θ = (1/2 - k/n)π
よって z = 1/2 + (i/2)tan((1/2 - k/n)π), (0 < k < n)

2011-06-09 22:53:39