(a_n) の規則性を調べよ。

投稿者: 御手洗景子 投稿日: 2010 年 7 月 11 日 (日) 08 時 59 分 23 秒

F(t) = (1 + t)^2/(1 - t^2 - t^3) = Σ(n=0～∞)(a_n)t^n で (a_n) を定義する。
(a_n) の規則性を調べよ。
また, 下記の表を作って, (a_n)/(a_(n＋1)) と 「F(t) の 分母 = 0」 との関係を調べてみよ。

n 　　(a_n)　　 (a_(n+1)/a_n)
・ 　　　・　　　　　　 ・
・ 　　　・　　　　　　 ・
・ 　　　・　　　　　　 ・
・ 　　　・　　　　　　 ・

難しくて分からないので詳細に教えてもらえたらと思います。 よろしくお願いします。
a_n の規則性は, 基本だと思うのですが, 分かりそうで分からないので教えてもらえませんか?

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解答:
これは WolframAlpha に計算を任せてみると,
1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 16, 21, 28, 37, 49, 65, 86, 114, 151, 200, 265, 351
と出る。 こいつを
The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences にぶち込んでやると, これは Padovan sequence: a(n) = a(n-2) + a(n-3).
であると教えてくれる。 下の方を見ると
a(n) is asymptotic to r^n / (2*r+3) where r = 1.3247179572447..., the real root of x^3 = x + 1 . - DELEHAM Philippe (kolotoko(AT)wanadoo.fr), Jan 13 2004
と出ている。 この r が a_n+1/a_n の極限であり, これに段々近付いていっているということが分かる。
そして 1/r が, 分母の 1 - t^2 - t^3 の根である。

因みに方程式 x^3 = x + 1 の実数解は只一つである。