階乗の問題

数A　【階乗の問題】です2011/05/04(Wed) 18:17:23 No.10754
・30 の階乗 (30×29×28×27×…×1) について。
(1) この階乗の結果を割り切る, 2 の k 乗の k に当てはまる最大の自然数。
(2) この階乗の結果は, 一の位, 十の位, 百の位と右から順に見ていく。 このとき, ある数だけ 0 が連続して並ぶ。 その 0 の数。
(3) (2) で, 一番最初に 0 でない数がきたとき, その数字は何か。
お手数ですが、高一にわかる、途中の考え方、式もお願いします。

ひーと

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解答:
2011/05/05(Thu) 12:48:56 No.10756
こんにちは。
(1) 1, 2, ..., 30 の中に, 2, 2², 2³, 2⁴ の倍数は、夫々 15 個, 7 個, 3 個, 1 個あります。 よって,
　　　k = 15 + 7 + 3 + 1 = 26
です。
(2) 1, 2, ..., 30 の中に, 5, 5² の倍数は, 夫々 6 個, 1 個あります。 この階乗の結果を割り切る 5^j の j に当てはまる最大の整数は,
　　　j = 6 + 1 = 7
です。 j < k だから, この階乗の結果を割り切る 10<sup>i の i に当てはまる最大の
整数は, i = j = 7 です。 よって, 0 は i = 7 だけ連続して並びます。
(3) 上と同様に計算し,
　　　30!/10⁷ = 2¹¹・3¹⁴・7⁴・11²・13²・17・19・23・29
です。 以下, 各因数の, 一の位のみに注目して計算します。
　　　2¹¹ = 2048 ≡ 8 (mod 10)
　　　3¹⁴ = 3^4・3・3² ≡ 9 (mod 10)
　　　7⁴ ≡ 1 (mod 10)
　　　11² ≡ 1 (mod 10)
　　　13² ≡ 9 (mod 10)
だから,
　　　8×9×1×1×9×7×9×3×9 ≡ 8 (mod 10)
です。 よって, 答えは 8 です。
のぼりん

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のぼりん氏の解答はその通りだが, (3) は次のように考えてはどうだろう。
以下階乗計算は http://www.nn.iij4u.or.jp/~hsat/java/factorial/factorial.html でやった。
9! = 362880.
である。 最後の 0 は 2・5 から生じたので 3・4・6・7・8・9 ≡ 8 (mod 10) が分かる。
次に 19! を考える。 上記と同様に mod 10 で考えて良いので 8 (mod 10) が出るが, 今度は 12・15 = 180 が繰り上げに使われるので, 右から見ていって初めて 0 でない数字は 8²・8 ≡ 2 (mod 10) より 2 である。 実際
19! = 121645100408832000.
これに 20 を掛ければ, 右から見ていって初めて 0 でない数字は 2・2 = 4 である。 実際
20! = 2432902008176640000.
同様に考えていって 29! を考える。 今度は 25 があることに気をつけねばならない。 即ち
2・3・6・7・8・9 ≡ 4 (mod 10) と 24・25 = 60 と, 19! とから 4・4・6 ≡ 6 (mod 10) より右から見ていって初めて 0 でない数字は 6 である。 実際
29! = 8841761993739701954543616000000.
これに 30 を掛けるのだから, 右から見ていって初めて 0 でない数字は 6・3 ≡ 8 (mod 10) である。 実際
30! = 265252859812191058636308480000000.

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更に続けて 39! を考えると, 今度は 19! の時と同様に 8・8 ≡ 4 (mod 10) で 32・35 = 1120 だから, 右から見ていって初めて 0 でない数字は 4・2 = 8 である。 実際
39! = 20397882081197443358640281739902897356800000000.
更にこれに 40 を掛けると, 40! の右から見ていって初めて 0 でない数字は 8・4 ≡ 2 (mod 10). 実際
40! = 815915283247897734345611269596115894272000000000.
もっとやって, 49! を考える。 同様に 2・8 ≡ 6 (mod 10) で 42・45 = 1890 なので, 右から見ていって初めて 0 でない数字は 6・9 ≡ 4 (mod 10) である。 実際
49! = 608281864034267560872252163321295376887552831379210240000000000.
従って, 50! の右から見ていって初めて 0 でない数字は 4・50 = 20 だから 2 である。 実際
50! = 30414093201713378043612608166064768844377641568960512000000000000.
というのは本当は早計で, たまたま 49! の 4 の左隣が 2 (偶数) だったから正しく出たのである。 もしも左隣が奇数だったらそうはならない。 従ってもう少し前から mod 100 で計算しておかなくてはならないわけである。
このようにしてその気になれば幾らでも続けていける。