数学の証明

QNo.6328164 satoki84

もし p が素数で, k が p の倍数でなく, 0 ≦ x ≦ p^m - 1 であるならば, (kp^m - x)/(p^m - x) は p で割り切れないことを示せ。
投稿日時 - 2010-11-18 18:48:09

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解答:
ANo.1 naniwacchi
困った時は背理法ですよね。＾＾
仮定は, (k* p^m- x)/(p^m- x) が p で 「割り切れる」 とします。
すると
(k* p^m- x)/(p^m- x) = Np (N は整数)
と表すことができます。
整理すると、次のようになります。
(Np- k)* p^m = (Np- 1)* x
ここで、kや pに対するいろいろな条件を考えていきます。
「kが pの倍数でない」ことと pが素数であることから、Np- kは pで割り切れない（pの倍数ではない）ことが言えます。
よって、左辺は p^mの倍数（p^(m+1)以上の次数は含まない）であることになります。
この等式が成立するのであれば、右辺も p^mの倍数になります。
ところが、「0≦ x≦ p^m- 1」なので、Np- 1は少なくとも p（pの 1乗）を因数にもたなければなりません。
Np- 1は pを因数にもつということは、pの倍数であることになるので、・・・（ここからは少しなので、自分で完成させてください。）
もうほとんど終わりですね。＾＾；

投稿日時 - 2010-11-18 20:24:42

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ANo.2 multipul
a = k*p^(m)-x / p^(m)-x とする
a-1 = p^(m)*(k-1) / p^(m)-x　　　(1)
x=0 のとき、a-1=k-1⇔a=k
0＜x≦p^(m)-1 のとき、(1)の右辺はpの倍数であることを示す(右辺が整数なら)
aとa-1がともに素数pの倍数なのはおかしい
投稿日時 - 2010-11-19 05:52:20