方程式の共通解

NO : 17229 答えだけでも教えてください
うらっし 2012/10/27(Sat) 01:05:59

f(x)= x³ + 2ax² + a(a² - a - 1), g(x) = x² + ax - a とする。
(1) 方程式 f(x) = 0, g(x) = 0 が共通解を持つような実数 a の値をすべて求めよ。
(2) またそのような a の値のそれぞれに対し f(x) = 0 の解を求めよ。

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解答: (ここに何故か投稿出来なかったので)
共通解があるとすれば, それは f(x) - xg(x) = 0 とも共通解を持つ。
f(x) - xg(x)
= a(x² + x + a² - a - 1
なので a = 0 とすれば, その時, 元の式から f(x) = g(x) = 0 は x = 0 を共通解に持つ。
a ≠ 0 の場合:
h(x) = x² + x + a² - a – 1 とすると, f(x) = g(x) = 0 の解は, h(x) = 0 の解でもある。 そしてそれは g(x) - h(x) = 0 の解でもある。
そして
g(x) - h(x) = (a - 1)(x - (a + 1)) = 0
とすると, a = 1 か又は x = a + 1 である。
そこで a = 1 としよう。
この時 f(x) = x³ + 2x² - 1, g(x) = x² + x - 1 で
f(x) = g(x)(x + 1) だから, g(x) = 0 の解は双方とも共通解で, x = (-1 ± √5)/2.
一方 x = a + 1 とすると, g(a + 1) = 2a² + 2a + 1 = 0 でなければならないが, a に関する判別式を採ると D/4 = 1 - 2 < 0 となって実数解をもたないので, この場合は不適。