226 ヴェルンハルスト方程式画像(その3)

ヴェルンハルスト方程式は下記で示される漸化式であった。(記事274参照)
　　X(t+1)=A{X(t)(1-X(t)}

即ち、初期値を t=0 の時のX(0)とすれば、上式より次の数列が得られる。

X(0),X(1),X(2),X(3),・・・・・,X(t),・・・・・

この数列がある値に収束するのか、発散するのか、振動するのか、あるいはカオス状態になるのかは記事m275で見てきた。　その画像を再び下に示す。



上図は t が充分大きいときの漸化値であるが、
X(0),X(1),X(2),X(3),・・・・・,X(t),・・・・・
全てを表示したらどうなるだろうか。それは、A が与えられた時の漸化の様子を示す画像となる。

下図は、X(0),X(1),X(2),X(3),・・・・・,X(t),・・・・・,X(500)-----------------(1)
ときの図である。



上図で、t の値は色で区別している。t=0,1,2,3,・・・,500　としている。
BASIC/98 では下図に示すように16色しか使えず、色にはパレット番号が付けられている。
そこで、t の区別は、パレットNo.C=t MOD 16 として区別した。



従って、色から、上記数列のアトラクタへの接近の様子が分かる。

この漸化の様子も、図の横軸：Aに対して、ある種の規則性がありそうだ。
例えば、図中のP点のように、上記(1)の全ての数列の値が一点で交わるようなA点が存在している。これは別の意味でのアトラクタと言えるのではないか？　詳細に調べると、この図には、いろいろな規則性があるようだ。

下図は、t が、ある値以下のX(t)は表示させない場合の図である。
上の図から、t を 50,100,400 以下のX(t)を表示させない図である。
順次、数列{X(t)}の過渡値が削除されめため漸近値(アトラクタ)が明確になっていく。但し、カオス状態は変わらない。








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以下は、A=3.5～4の場合の画像である。
下図は記事274で示したアトラクタ及びカオスの画像である。



下図は、t=0,1,2,3,・・・,500 の全てのX(t)を表示した図である。
上のA=1～4図同様に、上記(1)の( ほとんど )全ての数列の値が或る一点 P に交わるような A 点が存在する。



下図は、t が、ある値以下のX(t)は表示させない場合の図である。数列{X(t)}の過渡値が削除されめため漸近値(アトラクタ)が明確になっていく。