カオス関連の一般読者向けの本には恐らく必ず出てくるものに、ヴェルンハルスト方程式というものがある。これは中学生でも分かる以下の式だ。
X(t+1)=AX(t){1-X(t)} (ここで、A は定数、X(t)は変数)
これは漸化式で、X(t)が与えられた時、上式の右辺よりX(t+1)が求められるが、今度そのX(t+1)を上式の右辺のX(t)に置き換えて新しいX(t+1)を求める。
この操作を繰り返すことによって下式の数列が得られる。
X(0),X(1),X(2),・・・・,X(t),X(t+1),・・・・
この数列は際限なく単純に増加していったり、あるいは際限なく減少していったり、あるいは上がったり下がったりして振動して、ともかく、ある特定の値に漸近したり、振動したりする・・・と、フツーの人(勿論、私も含めて)思うだろう。
こんな単純な式には何の変哲もない退屈なコトしか無いだろう、と思うのが人情というものだ。
ところが、だ。知っている人には釈迦に説法だが、この単純極まりない式には、トンデモナイことが実は潜んでいるのだ。
確かに、この式は何の変哲もないコトから始まるのだが、ある時、突然、奇っ怪なことが突然始まるのだ。その奇っ怪なこととは、今や日常語にもなった『カオス』のことだが、つまり、『次に何が起こるか予想が付かない』が発生するのだ。
この現象を見事に目の当りに見せてくれる画像がある。
実は、この画像は今やよく知られた画像だが、私は自分で(プログラムを作ってみて)体験してみた。PC の画面に徐々に現れる、その画像を見ていると、その奇っ怪さが身にしみてくる。( 何事も自身で体験してみなければワカラナイことは世の中には多い。
この体験もその一つだろう。)
その奇っ怪な画像とは下に添付した画像だが、この画像の縦軸は数列{X(t)}の漸化値で(但し1に規格化してある)、横軸は定数 A だ。
A がある値までは何事もなく漸化値(アトラクタと呼ばれる)は単調に増加していくのだが、A=3あたりになると、アトラクタは二つに分岐する。つまり、数列{X(t)}の漸化値は、二つの値を行ったり来たりする。そしてAが増加すると更に分岐が始まる。更に又この分岐が急速に進み、ついにカオス状態へ突入していく。
カオス状態では『数列{X(t)}の漸化値』は予測不能な状態となる。
しかし不思議なことに、このカオス状態の画像をよく見ると、ある種の秩序がある
ことが分かる。カオスの画像の濃淡の中にある複雑な放射線状のモノがそれだ。
そして更によく見ると、このカオス画像はフラクタル性(自己同一性)もある。
こんな簡単な式(ヴェルンハルスト方程式)に、一体、何ゆえに、このような複雑さ・豊穣さが
潜んでいるのだろう!!!??? 不思議とは、こういうことだ。
実は、この画像のカオス性は数学の単なるお遊びではなくて、この世の森羅万象のには、よく見られる現象なのだ。
ここらの話の本はたくさんあるだろうが、私のお気に入りの本を紹介しておこう。
これも古い本だ。『鏡の伝説--カオス-フラクタル理論が自然を見る目を変えた』(J.ブリッグス、F.D.ピート著、ダイヤモンド社)。
X(t+1)=AX(t){1-X(t)} (ここで、A は定数、X(t)は変数)
これは漸化式で、X(t)が与えられた時、上式の右辺よりX(t+1)が求められるが、今度そのX(t+1)を上式の右辺のX(t)に置き換えて新しいX(t+1)を求める。
この操作を繰り返すことによって下式の数列が得られる。
X(0),X(1),X(2),・・・・,X(t),X(t+1),・・・・
この数列は際限なく単純に増加していったり、あるいは際限なく減少していったり、あるいは上がったり下がったりして振動して、ともかく、ある特定の値に漸近したり、振動したりする・・・と、フツーの人(勿論、私も含めて)思うだろう。
こんな単純な式には何の変哲もない退屈なコトしか無いだろう、と思うのが人情というものだ。
ところが、だ。知っている人には釈迦に説法だが、この単純極まりない式には、トンデモナイことが実は潜んでいるのだ。
確かに、この式は何の変哲もないコトから始まるのだが、ある時、突然、奇っ怪なことが突然始まるのだ。その奇っ怪なこととは、今や日常語にもなった『カオス』のことだが、つまり、『次に何が起こるか予想が付かない』が発生するのだ。
この現象を見事に目の当りに見せてくれる画像がある。
実は、この画像は今やよく知られた画像だが、私は自分で(プログラムを作ってみて)体験してみた。PC の画面に徐々に現れる、その画像を見ていると、その奇っ怪さが身にしみてくる。( 何事も自身で体験してみなければワカラナイことは世の中には多い。
この体験もその一つだろう。)
その奇っ怪な画像とは下に添付した画像だが、この画像の縦軸は数列{X(t)}の漸化値で(但し1に規格化してある)、横軸は定数 A だ。
A がある値までは何事もなく漸化値(アトラクタと呼ばれる)は単調に増加していくのだが、A=3あたりになると、アトラクタは二つに分岐する。つまり、数列{X(t)}の漸化値は、二つの値を行ったり来たりする。そしてAが増加すると更に分岐が始まる。更に又この分岐が急速に進み、ついにカオス状態へ突入していく。
カオス状態では『数列{X(t)}の漸化値』は予測不能な状態となる。
しかし不思議なことに、このカオス状態の画像をよく見ると、ある種の秩序がある
ことが分かる。カオスの画像の濃淡の中にある複雑な放射線状のモノがそれだ。
そして更によく見ると、このカオス画像はフラクタル性(自己同一性)もある。
こんな簡単な式(ヴェルンハルスト方程式)に、一体、何ゆえに、このような複雑さ・豊穣さが
潜んでいるのだろう!!!??? 不思議とは、こういうことだ。
実は、この画像のカオス性は数学の単なるお遊びではなくて、この世の森羅万象のには、よく見られる現象なのだ。
ここらの話の本はたくさんあるだろうが、私のお気に入りの本を紹介しておこう。
これも古い本だ。『鏡の伝説--カオス-フラクタル理論が自然を見る目を変えた』(J.ブリッグス、F.D.ピート著、ダイヤモンド社)。
