どもども。
今回は前回に引き続き，2012年東大入試理系数学第5問をやってみたいと思います
問題はこちら
http://www.yozemi.ac.jp/nyushi/sokuho/recent/tokyo/zenki/sugaku_ri/mon5.html
前回は主に行列の累乗を求める話をやっていて(2)がまだ途中でした。
上手にkを取ると，Ｂ^kＡ または {Ｂ^(-1)}^kＡ が与えられた4つの行列に
等しくすることができる，ということを確かめる問題です。
このＢ^kＡ と {Ｂ^(-1)}^k を求めるところまで話が済んでいます。
まぁ，残りはただのやっつけ仕事なんですが
さて，ad-bc＝0，c＝0 という情報が与えられています。
このことより，(a,d)＝(1,1)＝(-1,-1)の２パターンに絞られるわけなので
まずはdの値が１か－１かで分けて考えてみます。
右上の成分のみがｋによって変動し，それが０になるときを選べばＯＫです
与えられた４つの行列に右からＡの逆行列をかけたもののいずれかが
ＢまたはＢ^(-1)の累乗の形になることを確かめるのもよいです。
(3)をみてみます。問題文はゴチャゴチャ書いてますが
早い話が， |a+c|＜|a| か，或いは |a-c|＜|a| かどちらかは成り立つことを
確かめる問題です。シンプルな話なので説明の仕方は色々あるでしょう。
±ｃの存在範囲は －|a|≦|c|≦|a|，c≠０ より
半開区間 [－|a|,0) または (0,|a|] です。
|a+c|は点ｃと点－aの距離，|a-c|は点ｃと点aの距離を表します。
ｃはaか-aかどちらかと同符号ですが，点ｃとその同符号の方の点との距離が|a|より小さいわけであります
|a+c|＜|a| か，或いは |a-c|＜|a| かを示すわけですが，
非負実数の大小比較なので，２乗の大小関係で比較してもいいです。
ｃは整数であるという仮定ですが，これを連続変数と思って
ｃの関数 f(c)=|a|-|a+c| と g(c)=|a|-|a-c| を考える作戦もあります。
このときaは固定して定数だとみなして考えるわけですね
一般に，Ｘ，Ｙ≠０のとき，ＸＹ＜０が成り立つなら
Ｘ，Ｙは異符号でどちらか一方は正，もう一方は負です。
|a|＞|a+c|のとき|a|＜|a-c|となることが図から分かると思います。
（|a|-|a+c|）×（|a|-|a-c|）＜０を示せば
|a|＞|a+c| か |a|＞|a-c|が成り立つことがいえます。
下の解法ではｃを変数として扱ってますが，わざわざそんな事しなくても
良さそうですね。
さて，上の解法に関連した別解法としては次のような方針もあります。
点ｃと点ａの距離をＬ，点ｃと点－ａの距離をＭとおくと
Ｌ＋Ｍ＝２|a|になってることが数直線から分かるはずです。
つまり|a+c|＋|a-c|＝２|a|です。これを移項すれば
|a+c|－|a|＝|a|－|a-c|となります。
この式より，|a|－|a+c|と|a|－|a-c|が異符合であることが分かるので
|a|＞|a+c| か |a|＞|a-c|が成り立つことがいえます
今回は前回に引き続き，2012年東大入試理系数学第5問をやってみたいと思います
問題はこちら
http://www.yozemi.ac.jp/nyushi/sokuho/recent/tokyo/zenki/sugaku_ri/mon5.html
前回は主に行列の累乗を求める話をやっていて(2)がまだ途中でした。
上手にkを取ると，Ｂ^kＡ または {Ｂ^(-1)}^kＡ が与えられた4つの行列に
等しくすることができる，ということを確かめる問題です。
このＢ^kＡ と {Ｂ^(-1)}^k を求めるところまで話が済んでいます。
まぁ，残りはただのやっつけ仕事なんですが
さて，ad-bc＝0，c＝0 という情報が与えられています。
このことより，(a,d)＝(1,1)＝(-1,-1)の２パターンに絞られるわけなので
まずはdの値が１か－１かで分けて考えてみます。
右上の成分のみがｋによって変動し，それが０になるときを選べばＯＫです
与えられた４つの行列に右からＡの逆行列をかけたもののいずれかが
ＢまたはＢ^(-1)の累乗の形になることを確かめるのもよいです。
(3)をみてみます。問題文はゴチャゴチャ書いてますが
早い話が， |a+c|＜|a| か，或いは |a-c|＜|a| かどちらかは成り立つことを
確かめる問題です。シンプルな話なので説明の仕方は色々あるでしょう。
±ｃの存在範囲は －|a|≦|c|≦|a|，c≠０ より
半開区間 [－|a|,0) または (0,|a|] です。
|a+c|は点ｃと点－aの距離，|a-c|は点ｃと点aの距離を表します。
ｃはaか-aかどちらかと同符号ですが，点ｃとその同符号の方の点との距離が|a|より小さいわけであります
|a+c|＜|a| か，或いは |a-c|＜|a| かを示すわけですが，
非負実数の大小比較なので，２乗の大小関係で比較してもいいです。
ｃは整数であるという仮定ですが，これを連続変数と思って
ｃの関数 f(c)=|a|-|a+c| と g(c)=|a|-|a-c| を考える作戦もあります。
このときaは固定して定数だとみなして考えるわけですね
一般に，Ｘ，Ｙ≠０のとき，ＸＹ＜０が成り立つなら
Ｘ，Ｙは異符号でどちらか一方は正，もう一方は負です。
|a|＞|a+c|のとき|a|＜|a-c|となることが図から分かると思います。
（|a|-|a+c|）×（|a|-|a-c|）＜０を示せば
|a|＞|a+c| か |a|＞|a-c|が成り立つことがいえます。
下の解法ではｃを変数として扱ってますが，わざわざそんな事しなくても
良さそうですね。
さて，上の解法に関連した別解法としては次のような方針もあります。
点ｃと点ａの距離をＬ，点ｃと点－ａの距離をＭとおくと
Ｌ＋Ｍ＝２|a|になってることが数直線から分かるはずです。
つまり|a+c|＋|a-c|＝２|a|です。これを移項すれば
|a+c|－|a|＝|a|－|a-c|となります。
この式より，|a|－|a+c|と|a|－|a-c|が異符合であることが分かるので
|a|＞|a+c| か |a|＞|a-c|が成り立つことがいえます