マーミン相対論―新しい発想で学ぶ： デヴィッド マーミン

「マーミン相対論―新しい発想で学ぶ：デヴィッド マーミン」

内容紹介：
マーミン博士は、本書のなかで、常識からすればきわめて不思議にみえる相対論について、科学に興味をもつ学生たちが理解しやすいように、新しい発想にもとずいた展開を試みている。全編を通じて明快さと機知が溢れ、いままで分からなかったことが霧が晴れるかのように見えてこよう。その他、「対数の面白さ」など“数の神秘”についての話や、偉大な物理学者ランダウに対する素直な思いを綴ったエッセイなどを収載。
1994年9月刊行、196ページ。

著者について：
デヴィッド・マーミン（ウィキペディア、ホームページ）
コーネル大学名誉教授（物理学）。米国物理学会のリリエンフェルト賞および米国物理教育学会のクロプステッグ賞を受賞。米国科学アカデミー、米国芸術科学アカデミーの会員。この数十年の間に、量子論の基礎的な問題に関する多くの著作を執筆しており、科学の啓蒙に関する明瞭さと機知には定評がある。

訳者について：
町田茂（まちだ しげる）
1926生まれ。京都大学名誉教授。理学博士。1949年東京大学卒業。広島大学講師，立教大学助教授，同教授を経て京都大学教授，現在京都大学名誉教授。主な研究分野は素粒子論，量子力学の基礎。著書に『現代科学と物質概念』（共著，青木書店），『量子論の新段階』（丸善），『基礎量子力学』（丸善），『量子力学の反乱』（学研）がある。


理数系書籍のレビュー記事は本書で320冊目。

アインシュタインの特殊相対性理論はとっくの昔に学び終えたと思っていたのだが、あながちそうではなかった。本書のことはT_NAKAさんから教えてもらったのだが、「光なしの相対性理論」を解説しているユニークな本なのである。

みなさんご存知のとおり、特殊相対性理論はアインシュタインが16歳のときに「手鏡で顔を見ながら光速で飛べたとしたら、鏡に自分の顔は映るのだろうか？」と疑問を抱いたことから始まった理論だ。1905年、彼が26歳のときに発表した「運動している物体の電気力学について」という論文も電磁気学のマクスウェル方程式に特殊相対性理論を適用させる電気力学についての論文である。

たいていの入門書ではアインシュタインが考えたのと同じ方法で説明がされているから、「光速度不変の原理」はいちばん大切で、光(電磁波）の存在なしにこの理論は導けないのだと思っている人が多い。僕もそのひとりだった。聖書の「神は言われた「光あれ」こうして光があった。」とはよく言ったものだと僕は思っていた。特殊相対性理論によってニュートンの絶対空間と絶対時間は修正され、ローレンツ変換であらわされる伸縮する４次元の時空の概念を私たちは獲得することができたのである。

ところがこの本によれば光は必要なかったのである。光のように運動するどの系（観測者）から見ても同じ速度に見える「不変速度」があることや、その不変速度はこの世界の最大速度であること、ローレンツ変換のような時空が光の存在を使わなくても導けてしまうのである。この理論には「光なしの（特殊）相対性理論」という名前が与えられた。そして1910年には最初の論文が発表されていたのである。

ツイッターでアンケートをとってみたところ８割ほどの人がご存知ないようだ。



本書は相対性理論を詳しく解説しているような印象のタイトルだが、相対性理論は最初の５章だけで、残りはすべて相対性理論以外のテーマである。そして最初の５章についても一般相対性理論は含まれず、特殊相対性理論だけである。著者のマーミンは相対性理論だけ解説した「It's About Time: Understanding Einstein's Relativity」や「Space and Time in Special Relativity」をお書きになっているが、この２冊は邦訳されていない。

光なしの相対性理論のことは後述するとして、まず本書の全体の構成を述べておこう。

第６章以降はエッセイ集、物理学よもや話のようなもので２ページほどの短い章もあれば、１０ページ以上続く長い章もある。全体的に「寄せ集め感」が否めない。


第１章：すばらしい多色相対性エンジン

学生に特殊相対性理論を教えるための著者のアイデアである。名付けて「相対性理論エンジン」だ。もともと機械仕掛けで教材を考案したのだが、パソコンソフトで実現するイメージで解説されている。マーミンは「デジタル相対性理論」とも呼んでいる。次のようなイメージだ。



しかし、この文章が書かれたのがキャラクタ端末のパソコンを使っていた頃で、今となっては時代遅れだ。説明も複雑で僕にはかえってわかりにくいものに感じた。

第２章：光速度一定から導く相対論的な速度の加法則

ローレンツ変換を使わないばかりでなく、長さの収縮も時間の遅れも、そして同時刻の相対性も使わずに相対論的な速度の加法則を導く。初歩的な代数計算で導くことができる。



第３章：光なしの相対論

詳細は後述する。

第４章：E=mc^2

アインシュタインの思考実験では、エネルギー含量の変化は光の放出によって生じ、電磁波のエネルギーに対する変換則に基づいてE=mc^2を求めている。この章では純粋に力学的に、ひとつの非弾性過程を考えるという方法で同じ式を導出している。でてくる数式は高校数学程度であるが、導出過程は複雑なので大学初年度以降の学生向きだ。

第５章：相対論の悲喜劇

相対性理論を題材にした寸劇の脚本。僕には意味がよくわからなかった。

第６章：「対数！」の面白さ

いろいろな自然数を低にもつ対数の値を概算で計算するテクニックを紹介している。関数電卓やパソコンが自由に使える現代では興味を引く話題ではないが、著者がこの本を出版した1984年でも関数電卓は安く手に入っていた。昔はこのようにして計算していたということを知っておくのもよいかもしれない。

第７章：スターリングの公式

スターリングの公式の値を求めるために近似式を使うわけだが、より早く収束する級数を段階的に紹介する。プログラム電卓やポケットコンピュータを使い始めた時代に書かれた文章だ。

第８章：空に浮かぶパイ

ラマヌジャンが発見した円周率（π）の驚異的な近似式を紹介し、それがなぜすごい式なのかを説明した文章。

第９章：力学と量子論における変分原理

1952年に出版された「力学と量子論における変分原理」という本の第３版に対するマーミンの感想が書かれている。学生にとってはとても有益な本なのだそうだ。

第１０章：新語をつくりたがる物理学者

マーミンは超流動ヘリウム３に見られるある現象に対して「ブージャム」という新語を科学の国際語にしようとしたことがあった。この章はこの用語がなかなか受け入れられず、彼が苦労したことを書き綴ったかなり長い文章である。

第１１章：卒業式での挨拶

サンタフェにあるセントジョンズ・カレッジの卒業式での挨拶をマーミンが依頼されたことにまつわる文章。僕はあまり面白いと思えなかった。

第１２章：一人の偉大な物理学者…そして偉大な人格

アンナ・リヴァノーヴァ著『ランダウ--優れた物理学者にして教師』という本に対するマーミンの書評である。

第１３章：ランダウと共に過ごした日々

「ランダウと共に過ごした日々」というタイトルで行われたランダウ追悼会議での講演内容である。物理学者としてマーミンは数え切れないほどの恩恵、借りがあるとおっしゃっている。


翻訳の元になった原書はこちら。1990年に出版された。目次を見ると26章から構成されており、日本語版にはその半分が含まれている。

「Boojums All the Way through: Communicating Science in a Prosaic Age: N. David Mermin」（Kindle版）



残りの章のいくつかは「量子のミステリー： デヴィッド マーミン」（表紙イメージ）として出版されている。つまり英語版で１冊だったものを日本語版では２冊に分けて出版したわけだ。章立ては次のとおり。（紹介記事）

第１章：量子のミステリー
第２章：ひいきチームの加勢ができる?―アインシュタイン‐ポドルスキー‐ローゼンの実験形而上学
第３章：気味の悪い遠隔作用―量子論の不思議
第４章：青天の霹靂―アインシュタイン‐ポドルスキー‐ローゼンのパラドックス
第５章：ニールス・ボーアの哲学的著作
第６章：量子論の醜い混乱
第７章：夢見が悪いのはなぜ?


「光なしの相対性理論」について

さて本題に移ろう。まず私たちが普通に学ぶ特殊相対性理論の簡単な復習だ。次のような（等速直線運動をする）２つの慣性系を考える。



すると２つの系の間には次のローレンツ変換であらわされる関係が成り立つ。cは光の速度で、vは左の慣性系に対する右の慣性系の相対速度だ。光速度不変の原理によりｃはどちらの慣性系から見ても一定値であることを要請している。



そして速度の合成（速度の加法）について、小学校以来慣れ親しんでいるニュートン力学の世界、ガリレイの相対性原理の世界では次のようになる。



ところが特殊相対性理論、ローレンツ変換をもとに計算する現実の世界での式は次のようなものになっているわけだ。



ちなみにEMANの相対論では「ローレンツ変換の求め方」や「なぜ光速を越えられないのか」のページでローレンツ変換や速度の合成が解説されている。


本書の第３章「光なしの相対論」では、速度の加法則（速度の足し算）の式を導出してから３つの慣性系を使って「不変速度」が存在することを導出している。高校数学レベルの数式とはいえ、とても込み入っていてわかりにくい。

T_NAKAさんは「光なしの相対論」という記事で本書のことを紹介されているが、実際にご自分で５回の記事に分けてローレンツ変換を求める計算を示されている。（記事１、２、３、４、５）T_NAKAさんの記事に書かれている計算過程は本書、つまりマーミンによる導出方法に基づいている。本の内容をご自身で理解し、整理してお書きになった記事である。

その後、T_NAKAさんはマーミンの導出方法の概要を「一般的な速度の加法則」という３つの記事にまとめていらっしゃっている。（概要１、２、３）T_NAKAさんは疑問に思うことはとことん自力で確認してみる方で、大ざっぱに理解して済ましてしまう僕は頭が下がる思いがする。

本書の導出手順が難解であることはT_NAKAさんもおっしゃっていて、「「光無しの相対論」はこんなに簡単」という記事の中で「連載＜相対論＞」というページの中の「特殊相対性理論２」というPDF資料のほうがずっとわかりやすいと述べている。みなさんもこのPDF資料で学ばれるとよい。

実はこのPDF資料で紹介されている導出手順は、次の本で紹介されているものだ。中古本があったので購入して該当箇所だけ読んでみた。

「相対性理論のパラドックス―タキオンの物理: Ya.P.テルレッキー」



この本の原書（ロシア語）の初版は1966年に刊行されており、上の日本語版は1966年のロシア語版の不備をなおして翻訳し、1989年に刊行されたものだ。（1966年にも日本語版が刊行されていたので1989年版は増補新版と表記されている。）章立ては次のとおり。

序論
第１章：相対性理論の名称と内容
第２章：アインシュタインの要請とローレンツ変換
第３章：運動学的パラドックス
第４章：相対論的力学のパラドックス
第５章：光速度を超える速度は可能か？
第６章：負と虚の固有質量
第７章：星の集団の熱力学的安定性について

第２章の中に「光速度不変の原理を用いないローレンツ変換の導き方」がある。全体としては負の質量をもつ「ネガトン」や虚数の質量をもち超光速で運動する「タキオン」などの粒子の物理を計算で示しながら解説するための本だ。特殊相対性理論の本としてはかなり特異な内容である。

この本は英語版も2013年に刊行された。日本のアマゾンだと絶版で中古価格は１万円するが（Kindle版もでたが高い）、米国アマゾンだと新品が99ドルで買える。（見てみる）

「Paradoxes in the Theory of Relativity: Yakov Terletskii」




上記のPDF資料でもテルレッキーのこの本でも同じことだが、「光なしの相対性理論」のわかりやすい導出手順は、次の３つのことを前提としている。

１）空間の等方性（すべての空間方向の同等性、つまり対称性）
２）空間と時間の一様性（空間・時間の性質が基準系の原点の選択に依存しないこと）
３）相対性原理（すべての慣性基準系の完全な同等性）

これだけである。もはや物理ではなく幾何学だけの理論だ。「光なしの相対性理論」が興味深いのは光や電磁波という物理的な実在を考えなくても時間と空間を幾何学的に考えるだけで不変速度の存在や、それが最大速度であること、ローレンツ変換のような伸縮する４次元時空が導けてしまうところにある。

その不変速度が無限大のときは私たちが慣れ親しんだガリレイ変換が成り立つ世界（ニュートンの絶対空間、絶対時間の世界）、不変速度が有限で固定のときはローレンツ変換が成り立つ特殊相対性理論の世界になる。有限の定数値が速度の解に含まれていることが重要な点だ。もちろんこの理論だけでは不変速度の値は具体的には求められない。実験によって光が不変速度ｃをもち、それが自然界の最大速度であることが明らかになったため、「光なしの相対性理論」で導出された不変速度が光速であると考えられているわけである。

しかし物理学者のパウリは「群論的な仮定（つまり対称性の仮定）からは、変換式の一般形を導くことができるだけで、その物理的内容を導くことはできない」と言っている。たしかに「光なしの相対性理論」は数学的（幾何学的）議論に終始するわけだから、物理的内容がでてくるはずはない。それにも関わらず、この理論を考えることには十分な意義があると思えるのだ。

「光なしの相対性理論」は「Relativity without light: a further suggestion」という英語のPDF資料でも導出手順が示されている。この資料によると、理論が最初に示されたのは1905年のアインシュタインによる発表のわずか5年後の1910年だったようだ。現在に至るまで、マーミンを含めて次のような科学者によって論文が書かれている。（論文の所在、名前は上記の英語のPDF資料の最後に書かれている。）

論文の発表年の順
Ignatowski (1910, 1911a, 1911b)
Frank and Rothe (1911, 1912)
Pars (1921)
Kaluza (1924)
Lalan (1937)
Dixon (1940)
Weinstock (1965)
Mitavalsky (1966)
Terletskii (1968) -> テルレッキーによる論文
Berzi and Gorini (1969)
Gorini and Zecca (1970)
Lee and Kalatos (1975)
Levy-Leblond (1976)
Srivastava (1981)
Mermin (1984) -> マーミンによる論文
Schwartz (1984, 1985)
Singh (1986)
Sen (1994)
Field (1997)
Coleman (2003)
Pal (2003)
Sonego and Pin (2005)
Gannett (2007)
Silagadze (2007)
Certik (2007)
Feigenbaum (2008)

マーミンは過去に発表された論文のいくつかを知っており、別解を見つけて1984年に発表したのである。本書で紹介された彼のこの導出手順が難しいのはそのためだ。このように多数の論文が書かれているのを見ると、この問題のもつ意味がとても深いのだということが想像できる。


重力（波）の速度

1916年に発表された一般相対性理論によると重力、重力波の伝わる速度も光速に等しいことが導かれている。これは「 [A8] 重力波について（1918年）」という論文に書かれているし、EMANの相対論では「重力波」のページで具体的に計算手順が示されている。真空中では重力波も光速と同様、どの系から見ても同じに見える不変速度である。

光と重力波はまったく別物なのに、どちらも自然界の最高速度で伝わるというのも不思議な気がする。

しかし重力波の速度はまだ測定されたことがない。アインシュタイン最後の宿題として「重力波の初観測」が今年の２月に発表されたばかりだ。「最後の宿題」は解決せずに残っている部分（重力波の速度の測定）があるのだ。

重力子（グラビトン）の質量がゼロであるから重力も光速で伝わるということらしいが、重力子にしても観測されてるわけではない。そもそも1955年に亡くなったアインシュタインが重力子など知っていたはずがない。

ウィキペディアの「Speed of gravity」を見ると、いちばん下の「Direct measurements of gravitational waves（重力波の直接観測）」のところには次のような記述がある。



これによると重力子の質量はゼロより大きい可能性があり、この場合、重力（波）の伝わる速さは光速より遅くなるわけだ。

私たちが生きている間に重力子が観測され、その質量が明らかになるのかはまったく予想がつかないが、近年のLHCやLIGOをはじめとする観測装置のもたらした目ざましい成果を思うと、もしかすると。。。という気持ちになってくるわけである。

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10月17日に追記：

上記の「もしかすると。。。」が現実のものになった。重力波の伝播速度が光速に等しいことが観測により検証された。

重力波、中性子星で観測…重い元素の誕生解明
https://blog.goo.ne.jp/ktonegaw/e/679497167caff3af8bdde981c812d4ec

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関連書籍：

特殊相対性理論に入門するのにお勧めな本を紹介しておこう。もちろん「光ありの相対性理論」である。

- みるみる理解できる 相対性理論 増補第3版 (ニュートン別冊)：見てみる
- E=mc2―相対性理論からみちびかれたアインシュタインの世界： 見てみる
- 高校数学でわかる相対性理論 (ブルーバックス)： 見てみる
- ファインマン物理学１ 力学： 見てみる
- 趣味で相対論： 見てみる


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「マーミン相対論―新しい発想で学ぶ：デヴィッド マーミン」



訳者まえがき
日本語版への序

第１章：すばらしい多色相対性エンジン
第２章：光速度一定から導く相対論的な速度の加法則
第３章：光なしの相対論
第４章：E=mc^2
第５章：相対論の悲喜劇
第６章：「対数！」の面白さ
第７章：スターリングの公式
第８章：空に浮かぶパイ
第９章：力学と量子論における変分原理
第１０章：新語をつくりたがる物理学者
第１１章：卒業式での挨拶
第１２章：一人の偉大な物理学者…そして偉大な人格
第１３章：ランダウと共に過ごした日々

注および文献