アマデウス先生 @amadeus_senseiX,Yをバナッハ空間年、Tが定義域D(T)がXにおいて稠密で、値域R(T)がYに含まれる閉作要素とする。このとき次の4条件は互いに同等である:i) R(T)がYの閉集合である,ii) R(T')がX'の強閉集合である。
iii) R(T)={y∈Y|T'y*0となるすべてのy*に対し<y,y*>=0},iv) R(T')={x*∈X'|Tx=0となるすべてのxに対し<x,x*>=0}。これを閉値域定理(closed range theorem)という。
この系として、1) R(T)=Yであるための必要十分条件は、T'が連続な逆作用素を持つことである。2) E(T')=X'であるための必要十分条件は、Tが連続な逆作用素を持つことである、が得られる。同じ範疇に入る定理としたう次がある。2つの閉線形部分空間M.Nに関する以下の命題は
互いに同等である:i) M+Nは閉集合である。ii) M°+N°は強閉集合である。iii) M°+N°は汎弱閉集合でHahn-Banachの拡張定理、共鳴定理、開写像定理、閉グラフ定理、閉値域定理等は局所凸線形位相空間に適合するように拡張できる。
この拡張を通じて、解析学の多くの基本的な問題を統一的に取り扱うことができるようになったにとどまらず、関数解析そのものに新しい研究方向が開かれるようになった。
研究速報:バナッハ空間における最適制御問題の近似解法 - 東京大学 repository.dl.itc.u-tokyo.ac.jp/dspace/handle/…
現代におけるモーツァルト演奏を考えるとき、作品がどのような性格をもっているかを知ることはとても重要である。simplog.jp/pub/14922859/46
#モーツァルト
室内楽を編成の上からではなく、性格の上から大きく分けるとすれば、娯楽的・社交的な性格をもつディヴェルメント型、オーケストラの縮小型、とりわけ第1ヴァイオリンなり弦楽の加わった1本の管楽器や鍵盤楽器が中心になる協奏型の3つに分類できるのではないだろうか。
Hermite対称領域の推論的商空間は、準射影代数多様体としての構造を持ち、志村多様体と呼ばれる。志村多様体は、正準モデルと呼ばれる代数体上定義されたモデルを持つ。SL?(Z)の合同部分群による複素上半平面の商の場合は、モジュラー曲線であり、古くから研究されてきた。
虚数乗法を持つアーベル多様体のモジュライは、0次元の志村多様体の正準モデルとなる。一般の志村多様体についても、そのゼータ関数や、保型形式にともなうGalois表情の構成など、整数論的な研究がなされている。