アマデウス先生 @amadeus_sensei@yuriehiyoko 数学オリンピック財団 imojp.org
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毎年行われる高校生を対象とした数学の問題を解く…国際数学オリンピック。ニャ！ボクは参加できないニャ！見て楽しむニャ！
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@ryosuke_the_3rd Certo.Gioco a calcio da molti anni.E tu fai qualche sport?
#italiano
ニュートン法の(そして微分法の)根幹には関数の概念がある。関数とは任意の入力に対して一定の出力を指定するルールのことである。2乗する関数はおなじみの例であり、入力2に対して出力4、入力9に対しては出力は81である。逆数関数は2を1/2に、5を1/5にする。
この他のよく知られた関数には正弦関数や指数関数がある。もし少し形式的に述べると、関数の出力は数学的記号でf(x)のように書く。こうして2乗関数はf(x)=x?のように表される。入力のxが2のとき、出力のf(x)は4である。
f(x)をx?+x-6とすると、x=1のときf(x)の値は-4である。このプロセスはまた逆にもてきる。ときには関数の値がわかっていて、入力の1つまたは複数の値が未知である。このときは方程式を解かねばならない。
様々なカオスとフラクタル gavo.t.u-tokyo.ac.jp/~mine/japanese…
すなわち、方程式が成り立つxの値を見つけなければならない。中学で数学を勉強した人はみな、たとえばx?+x-6=0となるxの値を探す問題にはおなじみである。このときはxは2か-3のどちらかである。この2つの解2と-3は方程式の根と呼ばれる。
何が起こるかを見るための画を描く1つの方法として、関数x?+x-6がどのように見えるかを示すグラフをフロットしてみよう。関数の値f(x)を多くのxに対して計算して、この結果が得られる対になった数を座標とみて、グラフをプロットできる。たとえばx=1のときf(x)=-4である。
点(1,-4)は、グラフの垂直軸から1ステップ離れ、水平軸すなわちx軸より4ステップ下に位置する。結果の曲線はx軸を2回、2と-3で切る放物線である。
方程式x?-5=0は少し厄介である。2つの答、正と負の5の平方根(±√5)がある。しかしここで√5の数値はどうなるか？言い方をかえると、この方程式で表される曲線がx軸と交わるのは正確にはどこか？ニュートンの方法は、方程式がx軸と交わるところを見つける1つの方法である。
√5の場合、解を求める人はxの試しの値として2から出発するかもしれない。ニュートン法の中心となる公式を適用すると、根の新しい改良された推定値2.25が得られる。この新しい数に対してこのプロセスを繰り返すと、結果はさらに良い推定値の2.236となる。
この繰り返し手続きを解を求める人が満足するまで続ける。何が起こっているかを描くためには、典型的な関数グラフ-なめらかで波状に動き、x軸をどこかで切る曲線-を注意深く見る必要がある。最初の推定値として、曲線上の1点をとる。ニュートン法は接線をとる。これはその手を通り、
そこでの曲線の勾配を示すただ1つに決まる直線である。この接線を延長してx軸と交わる点を求めると、これがxの新しい値となり、もともとの曲線とx軸が交わる点に対する、おそらくより良い推定値になっているであろう。
このプロセスはこの新しい値をもとの推定値のところへ代入し等々として、繰り返していくことができる。このような手続きから、実際上どんな多項方程式であっても、その1つあるいは複数の根を求めるかなり効率のよいコンピューター・アルゴリズムを作成できる。
しかしながら、この方法を使うときの問題は、適切な出発点を選ぶこと、すなわち最初に妥当な推定を行うことにあることがわかる。
"@pimopimo: ガールフレンド(仮）のアニメ化が決定しました！どうぞよろしくお願い致します！いろいろがんばります #gf_kari
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当然ニャ！
