テーマ:正一角形と正二角形の形状
普通、正n角形と言った場合、
nは自然数を指す。
一般的に、自然数は1以上の整数を言うから、
正n角形は、正一角形、正二角形、正三角形・・・
を指す。
これを、自然数列{n}との関連で見てみると、
頂点の数{V_n}とすると、V_n=n。
対角線の数{D_n}とすると、D_n=n(n-3)/2。
内角の和{S_n}[rad]とすると、S_n=(n-2)*2π
一つの内角{I_n}[rad]とすると、I_n=(n-2)*2π/n
一つの外角{E_n}[rad]とすると、E_n=2π/n
である。
(実は、面積に関しても簡単な式で定義できるが、記事が長くなるので割愛する。)
ここから下は、非現実的で下らない事を書くので、
数学より算数的思考を愛する人だけ読んで欲しい。
ここに、n=1,n=2を入れてみる。
2を入れてみる。
つまり、頂点2個の正二角形。
対角線が-1本、内角の和が0、一つの内角が0、一つの外角がπ。
とりあえず、本数がマイナスというのは考えられない。
なので、絶対値を取る事にする。
ゆえに、D_n=|n(n-3)/2|。
すると、対角線1本。
頂点二つで対角線一本だから、一つの線分が正二角形に思える。
しかし、対角線は、辺と一致しないものと定義されているから・・・
この点で作図が不可能だと考えられる。
又、内角から考えると、
始点が同じでなす角0[rad]の半直線は一致していると考えられるから、
正二角形の二つの辺は一致している。
つまり、一つの線分が正二角形であると言える。
しかし、次の問題点がある。
一つの線分は、外角πを満たしていない。
なす角πの同始点の半直線は、直線状と言える。
まとめると・・・
対角線を基準とすると、作図不可能。(辺と対角線が一致してしまう。)
内角を基準とすると、線分状を示す。(外角2πとなってしまう。)
外角を基準とすると、直線状を示す。(内角πとなってしまう。)
ただ、外角π、内角0は、次の式を満たすから、値が間違っているわけではない。
I+E=π
とりあえず、結論として、「正二角形の形状は示せない。」と言える。
次に1を入れてみる。
つまり、頂点1個の正一角形。
対角線が1本、内角の和が-π、一つの内角が-π、一つの外角が2π。
頂点1個なのに対角線が引けるはずもない。
内角は存在し得ないから、-πも何もあり得ない。
外角2πであるから、形状は点と言える。
結局、正一角形も形状は示せなそうだ。
第一、辺が一本あるはずなのに、形状が点・・・。
端々の距離が0の線分が辺と言う事か・・・。
結局、正一角形、正二角形の形状は示せなかった。
いや、存在しない事を示したと言っても良いかもしれない。
少し、数学的な事を言えば、
ユークリッド幾何の範囲では存在しないと言える。
(楕円幾何学、リーマン幾何学などでは存在しえる。)
あまり面白くなかったが、
GMさんがGv入れるのに失敗したそうで・・・仕方なく。
それも明日も失敗したそうで;;
明日の記事もお楽しみに;;
nは自然数を指す。
一般的に、自然数は1以上の整数を言うから、
正n角形は、正一角形、正二角形、正三角形・・・
を指す。
これを、自然数列{n}との関連で見てみると、
頂点の数{V_n}とすると、V_n=n。
対角線の数{D_n}とすると、D_n=n(n-3)/2。
内角の和{S_n}[rad]とすると、S_n=(n-2)*2π
一つの内角{I_n}[rad]とすると、I_n=(n-2)*2π/n
一つの外角{E_n}[rad]とすると、E_n=2π/n
である。
(実は、面積に関しても簡単な式で定義できるが、記事が長くなるので割愛する。)
ここから下は、非現実的で下らない事を書くので、
数学より算数的思考を愛する人だけ読んで欲しい。
ここに、n=1,n=2を入れてみる。
2を入れてみる。
つまり、頂点2個の正二角形。
対角線が-1本、内角の和が0、一つの内角が0、一つの外角がπ。
とりあえず、本数がマイナスというのは考えられない。
なので、絶対値を取る事にする。
ゆえに、D_n=|n(n-3)/2|。
すると、対角線1本。
頂点二つで対角線一本だから、一つの線分が正二角形に思える。
しかし、対角線は、辺と一致しないものと定義されているから・・・
この点で作図が不可能だと考えられる。
又、内角から考えると、
始点が同じでなす角0[rad]の半直線は一致していると考えられるから、
正二角形の二つの辺は一致している。
つまり、一つの線分が正二角形であると言える。
しかし、次の問題点がある。
一つの線分は、外角πを満たしていない。
なす角πの同始点の半直線は、直線状と言える。
まとめると・・・
対角線を基準とすると、作図不可能。(辺と対角線が一致してしまう。)
内角を基準とすると、線分状を示す。(外角2πとなってしまう。)
外角を基準とすると、直線状を示す。(内角πとなってしまう。)
ただ、外角π、内角0は、次の式を満たすから、値が間違っているわけではない。
I+E=π
とりあえず、結論として、「正二角形の形状は示せない。」と言える。
次に1を入れてみる。
つまり、頂点1個の正一角形。
対角線が1本、内角の和が-π、一つの内角が-π、一つの外角が2π。
頂点1個なのに対角線が引けるはずもない。
内角は存在し得ないから、-πも何もあり得ない。
外角2πであるから、形状は点と言える。
結局、正一角形も形状は示せなそうだ。
第一、辺が一本あるはずなのに、形状が点・・・。
端々の距離が0の線分が辺と言う事か・・・。
結局、正一角形、正二角形の形状は示せなかった。
いや、存在しない事を示したと言っても良いかもしれない。
少し、数学的な事を言えば、
ユークリッド幾何の範囲では存在しないと言える。
(楕円幾何学、リーマン幾何学などでは存在しえる。)
あまり面白くなかったが、
GMさんがGv入れるのに失敗したそうで・・・仕方なく。
それも明日も失敗したそうで;;
明日の記事もお楽しみに;;
以上