多項式

Re:No Title2011/06/05(Sun) 16:36:26 No.16591

xⁿ - ax + b - 2 が (x - 2)² で割り切れるとき, a と b を n であらわせ。
この問題お願いします!
ゆう

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解答:
P(x) = xⁿ - ax + b - 2 が (x - 2)²
と置く。 P(x) は x - 2 で割り切れるので, 因数定理により
P(2) = 2ⁿ - 2a + b - 2 = 0
故に b =2a + 2 - 2ⁿ = 0. 従って元の式に代入して
P(x) = xⁿ - ax + 2a - 2ⁿ
　　= xⁿ - 2ⁿ - a(x - 2).
　　= (x - 2)(x^{n - 1} + 2x^{n - 2} + … + 2^{n - 1} - a)
なので, 題意より Q(x) = x^{n - 1} + 2x^{n - 2} + … + 2^{n - 1} - a と置くと, 再び因数定理により
Q(2) = 2^{n - 1}n - a = 0 より a = 2^{n - 1}n.

[別解] (前半は同様)
題意より P'(x) = nx^{n - 1} - a なので P'(2) = n・2^{n - 1} - a = 0 より (以下略)