最小値

QNo.6167546 shortcake27
数学の問題です

正の数 x, y が 1/x + 1/y = 1 を満たすとき, x + y の最小値を求めよ

という問題です。
私はこの式を変形した x + y = xy を満たす数を求めればいいと考えましたが, これからどうすればいいかわかりません。 代入していくしかないのでしょうか?
また, この方法が正しい解き方なのかもわかりません。
もし間違っているならば, 正しい解き方を教えて頂けませんか?
どうかよろしくお願いします。

投稿日時 - 2010-09-08 14:45:30

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解答:
ANo.2 mister_moonlight
考えられる方法はいくつかある。

(解法-1)

x + y = xy = k とすると, x > 0, y > 0 から相加平均・相乗平均より x＋y ≧ 2√(xy) → k ≧ 2√k.

k > 0 から 2 乗すると k ≧ 4. 等号は x = y = 2 の時。

(解法-2)

x + y = xy = k とすると, x と y は t² - kt + k = 0 の 2 つの正の実数解。
従って, 判別式 ≧ 0, 2 解の和 > 0, 2 解の積 > 0 から, k ≧ 4, 等号は x = y = 2 の時。

(解法-3)

x + y = xy から (x - 1)(y - 1) = 1 で x > 0, y > 0 の部分。
x + y = k は傾きが -1 の直線から x + y = k が, 双曲線: (x - 1)(y - 1) = 1 に接する時に最小となる。

投稿日時 - 2010-09-08 15:10:13