Cardano の公式

質問 <3819> 2011/07/05
from=Missions代表
「方程式」

1 の虚数の立方根 ω を用いて
P = x^3 - a^3 - b^3 - 3abx を因数分解せよ。 又
x^3 - 12x - 20 = 0 を解け。

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解答:
有名な公式 x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx) に於いて, y = -a, z = -b と置くと
P = (x - a - b)(x^2 + a^2 + b^2 + (a + b)x - ab)
後ろの方を二次方程式の解の公式を用いて因数分解すると
P = (x - a - b)(x - (ωa +(ω^2)b))(x - ((ω^2)a + ωb))

さて, x^3 - 12x - 20 と P を比較すると
3ab = 12 (⇔ ab = 4 ⇒ a^3・b^3 = 64)
a^3 + b^3 = 20.
従って, a^3, b^3 は方程式 t^2 - 20t + 64 = 0 の二解で, (t - 4)(t - 16) = 0 から {a^3, b^3} = {4, 16}
従って, (対称性から) a = 2^(2/3), b = 2・2^(1/3) とすることによって
x = 2^(2/3) + 2・2^(1/3), 2^(2/3)・ω + 2・2^(1/3)・ω^2, 2^(2/3)・ω^2 + 2・2^(1/3)・ω.
(因みに, これが Cardano の解法そのものである)

参考: http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E3-12*x-20%3D0

三角函数と三次方程式

質問 <3818> 2011/07/05
from=Missions代表
「方程式」

4x^3 - 3x - 1/2 = 0 の三解を cosα, cosβ, cosγ (0 < α < β < γ < π)
の形に表せ。 又, 方程式
z^3 - 9z^2 + 24z - 19 = 0 の三解を三角関数を用いて表せ。

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解答:
三倍角の公式
cos3α = -3cosα + 4cos³α
を用いると x = cosα と置くとき
cos3α = 1/2, 0 < 3α < 3π だから 3α = π/3, 5π/3, 7π/3.
従って x = cos(π/9), cos(5π/9), cos(7π/9).

参考: http://www.wolframalpha.com/input/?i=4*x%5E3-3x-1%2F2%3D0

さて
z^3 - 9z^2 + 24z - 19
= (z - 3)^3 - 3(z - 3) - 1 = 0
なので, z - 3 = 2cosα, 0 < α < π と置くとき
cos3α = 1/2.
従って上記より z - 3 = 2cos(π/9), 2cos(5π/9), 2cos(7π/9).
よって z = 3 + 2cos(π/9), 3 + 2cos(5π/9), 3 + 2cos(7π/9).

参考: http://www.wolframalpha.com/input/?i=z%5E3-9*z%5E2%2B24z-19%3D0

n - 1 次方程式

Rinlan

複素数 z についての方程式 zⁿ = (z - 1)^{n - 1} (n は自然数) の解を n の式で表すことは可能でしょうか?
|z| = |z - 1| が必要であることから z = 1/2 + iy の形になることまでは分かったのですが。
よろしくお願いします。

2011-06-09 21:49:45

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解答:
先ず z = a + bi (a, b ∈ R ) とすると
a² + b² = (a - 1)² + b²
だから, 0 = -2a + 1 となって, a = 1/2 ということが分かる。
rascal 氏の解答
(補足: z - 1 = -1/2 + iy であるから)
θ = arg z (-π/2 < θ < π/2) とすると
nθ = n(π - θ) - 2kπ
故に θ = (1/2 - k/n)π
よって z = 1/2 + (i/2)tan((1/2 - k/n)π), (0 < k < n)

2011-06-09 22:53:39

多項式

Re:No Title2011/06/05(Sun) 16:36:26 No.16591

xⁿ - ax + b - 2 が (x - 2)² で割り切れるとき, a と b を n であらわせ。
この問題お願いします!
ゆう

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解答:
P(x) = xⁿ - ax + b - 2 が (x - 2)²
と置く。 P(x) は x - 2 で割り切れるので, 因数定理により
P(2) = 2ⁿ - 2a + b - 2 = 0
故に b =2a + 2 - 2ⁿ = 0. 従って元の式に代入して
P(x) = xⁿ - ax + 2a - 2ⁿ
　　= xⁿ - 2ⁿ - a(x - 2).
　　= (x - 2)(x^{n - 1} + 2x^{n - 2} + … + 2^{n - 1} - a)
なので, 題意より Q(x) = x^{n - 1} + 2x^{n - 2} + … + 2^{n - 1} - a と置くと, 再び因数定理により
Q(2) = 2^{n - 1}n - a = 0 より a = 2^{n - 1}n.

[別解] (前半は同様)
題意より P'(x) = nx^{n - 1} - a なので P'(2) = n・2^{n - 1} - a = 0 より (以下略)

二次方程式の解

質問 3817 2011/5/27
from=Missions代表
「方程式」
f(x) = 3(a - b)x^2 + 6bx - a - 2b (a, b は異なる実数定数) のとき
f(x) = 0 は 0 と 1 の間に少なくとも一つの解を持つことを示せ。

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解答:
f(0) = -a - 2b,
f(1) = 3(a - b) + 6b - a - 2b = 2a + b
-f(0)f(1) = 2a^2 + 5ab + 4b^2 = 2(a + 5b/4)^2 + 7b^2/8 > 0 (a と b は同時には 0 でないから)
従って中間値の定理から言える。

豆氏のご指摘によって再計算。(on 11 July, 2011)
f(x) = 3(a - b)x^2 + 6bx - a - 2b = 0 と置く。
x に関する判別式を D とすると
D/4 = 9b^2 - 3(a - b)(-(a + 2b))
= 9b^2 +3(a^2 + ab - 2b^2)
= 9b^2 + 3a^2 + 3ab - 6b^2
= 3a^2 + 3ab + 3b^2
= 3(a^2 + ab + b^2)
= 3((a + b/2)^2 + 3b^2/4) > 0. (a と b は同時には 0 でないから)
よって, 必ず相異なる二実数解を持つ。

-f(0)f(1) = (2a + b)(a + 2b) > 0 の場合は, 中間値の定理から言える。
そうでない場合。
即ち
(1) a > 0 で, -a < b < -a/2 の場合
(2) a < 0 で, -a/2 < b < -a の場合
と二通りある。
何れの場合でも
f(1/2) = -(a - b)/4 は f(x) の二次の係数と逆符号であり,
a > b ならば上記の (1) の場合で, この時, f(1) = 2a + b > a > 0,
a < b ならば上記の (2) の場合で, この時, f(1) = 2a + b < a < 0
だからグラフの形状から, 0 と 1 の間に二つの実数解をもつ。