恒等式

問<3815> 2011/4/21 from=べく太

整式 f(x) が x についての恒等式
xf(x^2 - 1) - 5f(x) = (x^3 + 1)f(x - 1) - 2(x - 1)f(x + 1) - 4x - 29
を満たすとする。

(1) f(0), f(1), f(-1) の値を求めよ。
(2) f(x) の次数を求めよ。
(3) f(x) を求めよ。

お願いしますm(__)m

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解答:
(1) x = 0, 1, -1 を各々代入すると
-5f(0) = f(-1) + 2f(1) - 29 … (a)
f(0) - 5f(1) = 2f(0) - 33 即ち f(0) = -5f(1) + 33 … (b)
-f(0) - 5f(-1) = 4f(0) - 25 即ち f(0) = 5 - f(1) … (c)
(b) と (c) から f(1) = 7, f(0) = -2.
これらと (a) とから, f(-1) = 25.
(2) n = deg(f) とすると deg(lhs) = 2n + 1. Deg(rhs) = n + 3.
2n + 3 = n + 1 より n = 2.
(3) f(x) は二次式だから f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0) と置くことが出来る。
元の式に代入して
lhs = ax^5 + (-2a + b)x^3 - 5ax^2 + (a - 6b + c)x - 5c
rhs = a*x^5+(b-2*a)*x^4+(c-b-a)*x^3+(-2*b-a)*x^2+(-2*c+b-4)*x+3*c+b+3*a-29 (ここから Maxima)
係数比較して
b - 2a = 0,
b - 2a = c - b - a,
-5a = -2b - a,
c - 6b + a = -2c + b - 4,
-5c = 3c + b + 3a - 29 = 0.
解くと a = 1, b = 2, c = 3 (適).
即ち f(x) = x² + 2x + 3

多項式

多項式 投稿者: みー 投稿日: 2011 年 2 月 3 日 (木) 13 時 49 分 30 秒

多項式 f(x) を x² + x + 1 で割ると x + 2 余り,
x² + 1 で割ると 1 余る。
f(x) を (x² + x + 1)( x² + 1) で割った余りを求めよ。

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解答:
f(x) を (x² + x + 1)( x² + 1) で割った時の商を q(x), 余りを r(x) と置く。
割る式が四次式だから, r(x) の次数は 3 以下である。
更に f(x) を x² + x + 1 で割った時の余りは x + 2 であるから
r(x) = (x² + x + 1)(ax + b) + x + 2
と書ける。 従って除法定理により
f(x) = (x² + x + 1)( x² + 1)q(x) + (x² + x + 1)(ax + b) + x + 2
= (x² + x + 1)(x² + 1)q(x) + ((x² + 1) + x)(ax + b) + x + 2
= (x² + x + 1)(x² + 1)q(x) + (x² + 1)(ax + b) + x(ax + b) + x + 2
= (x² + 1)[(x² + x + 1)q(x) + (ax + b)] + x(ax + b) + x + 2
= (x² + 1)[(x² + x + 1)q(x) + (ax + b)] + ax² + (b + 1)x + 2
= (x² + 1)[(x² + x + 1)q(x) + (ax + b)] + ax² + a - a + (b + 1)x + 2
= (x² + 1)[(x² + x + 1)q(x) + (ax + b)] + a(x² + 1) - a + (b + 1)x + 2
= (x² + 1)[(x² + x + 1) g(x) + (ax + b) + a] + (b + 1)x - a + 2
ここで, f(x) を x² + 1 で割った余りが 1 であることから
b + 1 = 0,
-a + 2 = 1.
従って, a = 1, b = -1.
従って, 求める余りは
r(x) = (x² + x + 1)(x - 1) + x + 2
= x³ - 1 + x + 2
= x³ + x + 1.

多項式

五次多項式 f(x) が f(1) = 1, f(2) = 1/2, f(3) = 1/3, f(4) = 1/4, f(5) = 1/5, f(6) = 1/6 を満たすという。
この時 f(7) を求めよ。

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解答:
[誰でも思いつくが実際に解くのは困難な解答]
f(x) = ax⁵ + bx⁴ + cx³ + dx² + ex + h
と置く。 但し a ≠ 0.
与えられた条件を代入すると
a + b + c + d + e = 1,
32a + 16b + 8c + 4d + 2e + h = 1/2,
243a + 81b + 27c + 9d + 3e + h = 1/3,
1024a + 256b + 64c + 16d + 4e + h =1/4,
3125a + 625b + 125c + 25d + 5e + h = 1/5,
7776a + 1296b + 216c + 36d + 6e + h = 1/6.
これを解くと (wxMaxima 0.8.5 の出力)
a = -1/720 (適), b = 7/240, c = -35/144, d = 49/48, e = -203/90, h = 49/20.
これらを代入して計算すると f(7) = 0.

[Newton interpolation による]
条件から f(x) = 1 + a(x - 1) + b(x - 1)(x - 2) + c(x - 1)(x - 2)(x - 3) + d(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) + e(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5), e ≠ 0 と置くことが出来る。
従って
f(2) = 1 + a = 1/2,
f(3) = 1 + 2a + 2b = 1/3,
f(4) = 1 + 3a + 6b + 6c = 1/4,
f(5) = 1 + 4a + 12b + 24c + 24d = 1/5,
f(6) = 1 + 5a + 20b + 60c + 120d + 120e = 1/6.
これは手計算でも解くことが出来る (上から順に a, b, c, ... と求まっていく) が, 実際 wxMaxima 0.8.5 にやらせてみると
linsolve([f(2)=1/2, f(3)=1/3, f(4)=1/4, f(5)=1/5, f(6)=1/6], [a,b,c,d,e]);
[a=-1/2,b=1/6,c=-1/24,d=1/120,e=-1/720]
と出る。 (適)
代入して計算すると f(7) = 0.

[Lagrange's Interpolation Formula によるもの]
面倒なので wxMaxima 0.8.5 の出力だけを貼っておく。
f(x):=((x-2)*(x-3)*(x-4)*(x-5)*(x-6))/((1-2)*(1-3)*(1-4)*(1-5)*(1-6))+((x-1)*(x-3)*(x-4)*(x-5)*(x-6))/(2*(2-1)*(2-3)*(2-4)*(2-5)*(2-6))+((x-1)*(x-2)*(x-4)*(x-5)*(x-6))/(3*(3-1)*(3-2)*(3-4)*(3-5)*(3-6))
+((x-1)*(x-2)*(x-3)*(x-5)*(x-6))/(4*(4-1)*(4-2)*(4-3)*(4-5)*(4-6))+((x-1)*(x-2)*(x-3)*(x-4)*(x-6))/(5*(5-1)*(5-2)*(5-3)*(5-4)*(5-6))+((x-1)*(x-2)*(x-3)*(x-4)*(x-5))/(6*(6-1)*(6-2)*(6-3)*(6-4)*(6-5))
f(7) = 0.

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因みに -720f(x) = (x - 7)(x⁴ - 14x³ + 77x² - 196x + 252)
更に f(7) = 1/7 という条件を加えてみると Newton の方法では 1/5040 が係数として求まって, f(8) = 1/4 になった。
Lagarange の方法では, 途中経過はともかく, 別の値を出したいという時には簡単だが, 入力は結構面倒。
Newton の方法は手計算でも出来るし, しかも, もう一つ条件を加えたら, という時に大変便利な方法。

x^y = y^x

x^y = y^x をみたす正の有理数解 (x Yahoo!知恵袋
x^y = y^x をみたす正の有理数解 (x
x^y = y^x をみたす正の有理数解 (x
x = (1 + 1/n)^n
y = (1 + 1/n)^(n + 1)

と表せるもののみであることを示せ
(ただしnは自然数)

この問題が全くわかりません
解答の指針さえわかりません
教えて下さい

補足 対数をつかった方がいいんですかね？
質問日時： 2009/5/30 21:53:25 ケータイからの投稿

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解答:
drtetsuyaandoさん

数式が複雑なので, TeX 形式で書かせてもらいます。 [注: html 形式に直してある]
対数を使うと無理数が扱いずらくなるので、対数は使いません。
なお, 途中に出てくる ord というのは、ord₂ 24 =3, ord₃ (8/9) = -2 のように、ord_p x = n とは、有理数 n の分母・分子を素因数分解したとき、素数 p の指数が n であることを表します。
x または y を既約分数に表わしたときの分母・分子の素因数全体の集合を
p₁, ..., p_r とし，
x = p₁^e₁ … p_r^e_r
y = p₁^f₁ … p_r^f_r
(e_i, f_i ∈ Z ) と表す。
y e_i = y ord_pi x = x ord_pi y = x f_i なので，
f₁/e₁ = f₂/e2 = … = f_r/e_r = y/x
である．互いに素な自然数 a, b をとり y/x = b/a と表わし，
e_i = a d_i, f_i = b d_i (d_i ∈ Z ) と表す．
ここで，x < y より 1 ≦ a < b である．
z = p<sub>1^d₁ … p_r^d_r とおけば，
x = z^a, y = z^b である．
互いに素な自然数 m, n により z = m/n と表す．
b/a = y/x = z^b/z^a = z^{b - a}
= m^{b - a}/n^{b - a}
であって，b/a も m^{b - a}/n^{b - a} も既約分数なので，
b = m^{b - a}, a = n^{b - a} でなければならない．

b - a ≧ 1 であるが，もし，b - a ≧ 2 であると，
b - a = n^{b - a} - m^{b - a} = (n - m)(n^{b - a - 1} + n^{b - a - 2}m + … + m^{b - a - 1})
> (m - n)(b - a)
となり矛盾するので，b - a = 1 である．
したがって，a = b, b = m = n + 1 となり，
x = (m/n)^a = (1 + 1/n)ⁿ,
y = (m/n)^b = (1 + 1/n)^{n + 1}
となる．

回答日時：2009/6/6 10:42:44

互に素から

mosol
お願い致します。
(1) x - 1, (x^2 + 1)^2 は互いに素である。
従って (___)*(x - 1) + (___)*((x^2 + 1)^2)=1 なる多項式が存在する。
上の空欄を埋めよ。
(2) (1)より 1/((x - 1)*(x^2 + 1)^2)の部分分数展開を途中を省略せず求めよ。 (未定係数法によらぬこと)
2010-12-02 01:14:54

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解答:
(1) (x² + 1)²
= ((x - 1)(x + 1) + 2)²
= (x - 1)((x - 1)(x + 1)² + 4(x + 1)) + 4.
従って,
(x - 1)(-(x - 1)(x + 1)² - 4(x + 1)) + (x² + 1)² = 4.
この両辺を 4 で割ればいい。

(2) は省略。