「自然科学者のための数学概論 応用編：寺沢寛一」（１９６０年版）
「自然科学者のための数学概論 増訂版改版：寺沢寛一」の記事を読んで、その後編の「応用編」についても詳細が気になっている読者が少しはいると思ったので続編記事にしてみた。
応用編も７００ページを超える大著で、各章を９名の物理学者が執筆を分担している。「流体力学」の権威の今井功先生は寺沢寛一先生の弟子にあたり、本書最後の「第５章：高速気流の解法」の執筆に協力されている。
前編が学習者や研究者にとって今なお貴重な存在であるのはよくわかったが、この後編ほど専門性が高くなるとコンピュータによる数値解法やシミュレーションの発達した現在、どれほどの有用性があるのか僕にはよくわからない。ただアマゾンでこの本が古書だけでなく新しい本として販売されていることをみると、その学術的価値がすたれていないのだと思った。
ネット上にこの本の詳細は皆無なので、これを記しておくだけでも購入を考えている方には有益な情報となることだろう。目次だけでもこの記事の大半を占めてしまった。
この本が出版されたのは寺沢寛一先生がお亡くなりになる９年前。ライフワークとして素晴らしい成果を残されたのだと思った。
「自然科学者のための数学概論 応用編：寺沢寛一」（１９６０年版）
目次：
A：偏微分方程式の解法
第１章：一般積分と境界条件
線型二階偏微分方程式の積分曲面/線型二階偏微分方程式に関するCauchyの問題、特性条件と特性曲線/二階線型偏微分方程式分類、双曲型、楕円型、放物型とその標準型/波動の方程式の解と初期値、境界値との関連/双曲型方程式の初期条件に関する一般的な考察/双曲型方程式の特性初期値問題/半無限の波動方程式における混合問題
第２章：変数分離と固有値問題
直交曲線座標と変数分離/Sturm-Liouville型方程式の固有値と固有函数/固有函数展開の理論/種々のSturnm-Liouville型方程式の固有値と固有函数による展開公式/Fourier展開およびFourier-Bessel展開の極限としてのFourier積分およびFourier-Bessel積分/量子力学的調和振動子、Weber-Hermiteの函数/量子力学的Kepler問題の固有値問題１、角部分/量子力学的Kepler問題の固有値問題２、動径部分/量子力学的Kepler問題の固有値問題３、回転放物面座標による変数分離、連続スペクトル
第３章：Green函数と境界値問題
Heavisideの階段函数、Diracのδ函数/函数概念の拡張、超函数/Green函数と常微分方程式の境界値問題/Greenの函数の求め方と基礎付け/随伴偏微分表式、広義のGreenの公式（線型二階の偏微分表式）/偏微分方程式におけるGreen函数/Laplaceの方程式の主要解/随伴Green函数、相反性/一次元の波動の方程式の主要解/熱伝導の方程式の主要解/長方形区域におけるGreen函数と境界値問題/円筒に関するGreen函数
第４章：初期値、境界値問題における種々の解法
端のない空間-１、波動方程式の純初期値問題：普通の場合/端のない空間-２、波動方程式の純初期値問題：広義のGreenの公式の応用/端のない空間-３、電信方程式（Klein-Gordonの方程式）の主要解（波動方程式への極限移行）/半無限空間における熱伝導の問題/円に関するポテンシアルのDirichletの問題/半無限円筒面に関するHelmholtzの方程式のDirichletの問題/軸対称性をもつPoissonの方程式の解/有限円筒内での熱伝導の問題/球に関するLaplaceの方程式のDirichletの問題
第５章：Mathieu函数、スフェロイド函数とその応用
∇^2ψ＋ｋ^2ψ＝０からMathieu方程式を導くこと/固有値λ(h^2)/固有値の重なり/積分方程式/Bessel函数の積を含む級数展開/周期解があるときのMathieu方程式の第二の解/変形されたMathieu方程式の解、漸近形/Me、Neの級数展開/楕円筒による音波の散乱/Mathieu方程式の解の安定性/Floquetの定理、固有指数/解の安定、不安定、量子力学への応用/スフェロイド函数の導入/スフェロイド函数の積分表示式/pe(mn)(z)、qe(mn)(z)の漸近展開
B:微分方程式の近似解法
第１章：摂動法
常微分方程式の初期値問題/境界値問題/固有値問題/固有値問題（つづき）
第２章：WKB法
いとぐち/転移点のない場合/Liouville変換/転移点のない場合の精密化/P(z)=a(z-z0)^nの場合/転移点近傍の解と接続公式/接続公式の応用/転移点の近傍での近似の精密化/精密化のつづき/偏微分方程式
第３章：Poincare-Lighthill-Kuoの方法と境界層の方法
いとぐち/常微分方程式 (x+εu)u'+q(x)u-r(x)=0 /q > 0の場合/q = 0の場合/q ≦ -1の場合/-1＜q0＜0の場合/Lighthillの方法の q0＝-κ＜0 に対する変形/その他の場合と方法の限界/偏微分方程式/境界層の方法
第４章：境界値問題の差分法による近似解法
まえがき/方法の例示/格子（net, lattice, Gitter）/近似差分方程式の定義/近似差分演算子の構成（常微分）/近似差分演算子の構成（偏微分）/微分方程式の解に対する近似度/多点近似法/近似境界条件、近似境界値問題の定義/近似境界条件の構成（常微分）/近似境界条件の構成（偏微分）/近似境界問題の解の存在/適性さ、安定性/収束性、誤差評価に関する定理/誤差の漸近形/収束性、誤差の吟味の例/固有値問題/数値解法
第５章：初期値問題の差分法による近似解法
予備、規約/近似初期値問題の具体例/収束性の吟味の一例/指数による安定性の吟味、その他/変数分離による安定性の吟味/初期条件に関する安定性と方程式に関する安定性/t→∞のときの安定性/安定性に関するvon Neumann, Lax等の理論/参考書
C:変分法
第１章：極値問題
二次整式の極値問題/対角線化/停留値の計算/ベクトル記法/固有値問題/固有値の最大最小性/一般の函数の最小値、極小値および停留値/条件付極値問題/凸函数/最大最小の相反性
第２章：Euler方程式と停留函数
変分法の問題/Euler微分方程式と停留函数/Euler微分方程式の積分法/極小（大）、停留の定義/Euler方程式への反省/正則な問題/Euler方程式の退化する場合/多くの函数のある場合、高階微分を含む場合/二つ以上の独立変数/パラメタ表示/自由端/一方向きの変分/等周問題/変分法の直接解法
第３章：二次微積分式の変分
二次微積分式の極値問題/固有値問題/固有函数の直交性と完備性/正値二次形式/極小問題
第４章：極小の条件
第二変分、Legendreの条件/Jacobiの条件、弱極小の十分条件/共役点の幾何学的意味/停留曲線の場とHilbertの不変積分/WeierstrassのE函数、極小の十分条件/最小の十分条件/凸汎函数と相反定理/Friedrichs変換/多くの函数の場合
第５章：Hamilton-Jacobiの理論
定点を通る停留曲線の場/特性函数の微分係数/Legendre変換、正準方程式、Hamilton-Jacobiの方程式/Hilbertの不変積分とHamilton-Jacobiの定理/測地線/正則な問題への変換/Hamilton-Jacobiの理論の測地線への応用
第６章：変分法による近似解法I：Rayleigh-Ritzの方法
Poissonの問題と直接法/Ritzの方法/常微分方程式への帰着/固有値問題/停留性の効果/高位の固有値/自然な境界条件/膜の振動/板の振動/Shrodinger方程式/停留値と停留函数/散乱位相、散乱長/函数の比勾配/散乱位相の変分表式/他の変分表式
第７章：変分法による近似解法II：上下界の評価
比較法/相反定理とFriedrichs変換の応用、比勾配/近似函数の評価/容量/容量の上下界/弾性論/柱体の捩り剛性/非線型の問題、Thomas-Fermi方程式/相反定理の成立しない場合/散乱位相の上下界/散乱長の上下界/固有値の上下界/参考書
D:物理学の諸問題
第１章：拡散の現象
拡散の取扱い/分布函数と輸送方程式/輸送方程式の一つの解/輸送方程式の相反定理/拡散方程式の解の改良/拡散方程式の例題/補註-Laplace変換
第２章：波動
波動方程式/円筒による波の散乱/波長の短い波の円筒による散乱/球による波の散乱/分散公式/因果律と分散公式/ミクロ因果律と分散公式/相反関係（reciprocity）/小さな散乱体
第３章：電磁波の境界値問題
Maxwellの方程式/エネルギー、運動量および力/波動方程式、平面波/導波管の一般的性質/長方形管/直方体空洞の中の固有振動/電磁ポテンシアル/補助定理/管の中での輻射/Bessel函数の応用/球Bessel函数の応用/補註-とうげ道の方法
第４章：プラズマの力学
プラズマ/基礎方程式/一つの静力学的な解/エネルギー定理、運動量定理、相似則/二成分系および準二成分系/平面的な横波/電荷の縦振動/準定常現象と準静的現象/軸対称な準定常解/ピンチされたプラズマ柱の安定性/トーラス管内のプラズマのつり合い
第５章：高速気流の解法
流体力学の基礎方程式
基礎方程式/完全流体の基礎方程式/縮む完全流体の定常な渦無し運動
M^2展開法
Janzen-Rayleighの方法/複素変数の導入/境界条件/第一近似/任意物体を過ぎる流れの複素速度ポテンシアル/任意物体の表面速度分布
薄膜理論
Prandtl-Glauertの法則/薄膜展開法/任意翼型の表面速度分布
高速気流の中の物体に働く力とモーメント
力とモーメントの一般式/任意物体のまわりの流れ/φ、ψの漸近公式/揚力・抵抗・モーメントの一般公式
ホドグラフ法
ホドグラフ法の基礎方程式/断熱法則にしたがう気体/特解の重ね合わせ/von Karman-tsienの近似/翼型に揚力の働くばあい/揚力とモーメントの一般公式/WKB法の応用/音よりおそい流れ/音よりはやい流れ/音に近い流れ/参考書
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「自然科学者のための数学概論 増訂版改版：寺沢寛一」の記事を読んで、その後編の「応用編」についても詳細が気になっている読者が少しはいると思ったので続編記事にしてみた。
応用編も７００ページを超える大著で、各章を９名の物理学者が執筆を分担している。「流体力学」の権威の今井功先生は寺沢寛一先生の弟子にあたり、本書最後の「第５章：高速気流の解法」の執筆に協力されている。
前編が学習者や研究者にとって今なお貴重な存在であるのはよくわかったが、この後編ほど専門性が高くなるとコンピュータによる数値解法やシミュレーションの発達した現在、どれほどの有用性があるのか僕にはよくわからない。ただアマゾンでこの本が古書だけでなく新しい本として販売されていることをみると、その学術的価値がすたれていないのだと思った。
ネット上にこの本の詳細は皆無なので、これを記しておくだけでも購入を考えている方には有益な情報となることだろう。目次だけでもこの記事の大半を占めてしまった。
この本が出版されたのは寺沢寛一先生がお亡くなりになる９年前。ライフワークとして素晴らしい成果を残されたのだと思った。
「自然科学者のための数学概論 応用編：寺沢寛一」（１９６０年版）
目次：
A：偏微分方程式の解法
第１章：一般積分と境界条件
線型二階偏微分方程式の積分曲面/線型二階偏微分方程式に関するCauchyの問題、特性条件と特性曲線/二階線型偏微分方程式分類、双曲型、楕円型、放物型とその標準型/波動の方程式の解と初期値、境界値との関連/双曲型方程式の初期条件に関する一般的な考察/双曲型方程式の特性初期値問題/半無限の波動方程式における混合問題
第２章：変数分離と固有値問題
直交曲線座標と変数分離/Sturm-Liouville型方程式の固有値と固有函数/固有函数展開の理論/種々のSturnm-Liouville型方程式の固有値と固有函数による展開公式/Fourier展開およびFourier-Bessel展開の極限としてのFourier積分およびFourier-Bessel積分/量子力学的調和振動子、Weber-Hermiteの函数/量子力学的Kepler問題の固有値問題１、角部分/量子力学的Kepler問題の固有値問題２、動径部分/量子力学的Kepler問題の固有値問題３、回転放物面座標による変数分離、連続スペクトル
第３章：Green函数と境界値問題
Heavisideの階段函数、Diracのδ函数/函数概念の拡張、超函数/Green函数と常微分方程式の境界値問題/Greenの函数の求め方と基礎付け/随伴偏微分表式、広義のGreenの公式（線型二階の偏微分表式）/偏微分方程式におけるGreen函数/Laplaceの方程式の主要解/随伴Green函数、相反性/一次元の波動の方程式の主要解/熱伝導の方程式の主要解/長方形区域におけるGreen函数と境界値問題/円筒に関するGreen函数
第４章：初期値、境界値問題における種々の解法
端のない空間-１、波動方程式の純初期値問題：普通の場合/端のない空間-２、波動方程式の純初期値問題：広義のGreenの公式の応用/端のない空間-３、電信方程式（Klein-Gordonの方程式）の主要解（波動方程式への極限移行）/半無限空間における熱伝導の問題/円に関するポテンシアルのDirichletの問題/半無限円筒面に関するHelmholtzの方程式のDirichletの問題/軸対称性をもつPoissonの方程式の解/有限円筒内での熱伝導の問題/球に関するLaplaceの方程式のDirichletの問題
第５章：Mathieu函数、スフェロイド函数とその応用
∇^2ψ＋ｋ^2ψ＝０からMathieu方程式を導くこと/固有値λ(h^2)/固有値の重なり/積分方程式/Bessel函数の積を含む級数展開/周期解があるときのMathieu方程式の第二の解/変形されたMathieu方程式の解、漸近形/Me、Neの級数展開/楕円筒による音波の散乱/Mathieu方程式の解の安定性/Floquetの定理、固有指数/解の安定、不安定、量子力学への応用/スフェロイド函数の導入/スフェロイド函数の積分表示式/pe(mn)(z)、qe(mn)(z)の漸近展開
B:微分方程式の近似解法
第１章：摂動法
常微分方程式の初期値問題/境界値問題/固有値問題/固有値問題（つづき）
第２章：WKB法
いとぐち/転移点のない場合/Liouville変換/転移点のない場合の精密化/P(z)=a(z-z0)^nの場合/転移点近傍の解と接続公式/接続公式の応用/転移点の近傍での近似の精密化/精密化のつづき/偏微分方程式
第３章：Poincare-Lighthill-Kuoの方法と境界層の方法
いとぐち/常微分方程式 (x+εu)u'+q(x)u-r(x)=0 /q > 0の場合/q = 0の場合/q ≦ -1の場合/-1＜q0＜0の場合/Lighthillの方法の q0＝-κ＜0 に対する変形/その他の場合と方法の限界/偏微分方程式/境界層の方法
第４章：境界値問題の差分法による近似解法
まえがき/方法の例示/格子（net, lattice, Gitter）/近似差分方程式の定義/近似差分演算子の構成（常微分）/近似差分演算子の構成（偏微分）/微分方程式の解に対する近似度/多点近似法/近似境界条件、近似境界値問題の定義/近似境界条件の構成（常微分）/近似境界条件の構成（偏微分）/近似境界問題の解の存在/適性さ、安定性/収束性、誤差評価に関する定理/誤差の漸近形/収束性、誤差の吟味の例/固有値問題/数値解法
第５章：初期値問題の差分法による近似解法
予備、規約/近似初期値問題の具体例/収束性の吟味の一例/指数による安定性の吟味、その他/変数分離による安定性の吟味/初期条件に関する安定性と方程式に関する安定性/t→∞のときの安定性/安定性に関するvon Neumann, Lax等の理論/参考書
C:変分法
第１章：極値問題
二次整式の極値問題/対角線化/停留値の計算/ベクトル記法/固有値問題/固有値の最大最小性/一般の函数の最小値、極小値および停留値/条件付極値問題/凸函数/最大最小の相反性
第２章：Euler方程式と停留函数
変分法の問題/Euler微分方程式と停留函数/Euler微分方程式の積分法/極小（大）、停留の定義/Euler方程式への反省/正則な問題/Euler方程式の退化する場合/多くの函数のある場合、高階微分を含む場合/二つ以上の独立変数/パラメタ表示/自由端/一方向きの変分/等周問題/変分法の直接解法
第３章：二次微積分式の変分
二次微積分式の極値問題/固有値問題/固有函数の直交性と完備性/正値二次形式/極小問題
第４章：極小の条件
第二変分、Legendreの条件/Jacobiの条件、弱極小の十分条件/共役点の幾何学的意味/停留曲線の場とHilbertの不変積分/WeierstrassのE函数、極小の十分条件/最小の十分条件/凸汎函数と相反定理/Friedrichs変換/多くの函数の場合
第５章：Hamilton-Jacobiの理論
定点を通る停留曲線の場/特性函数の微分係数/Legendre変換、正準方程式、Hamilton-Jacobiの方程式/Hilbertの不変積分とHamilton-Jacobiの定理/測地線/正則な問題への変換/Hamilton-Jacobiの理論の測地線への応用
第６章：変分法による近似解法I：Rayleigh-Ritzの方法
Poissonの問題と直接法/Ritzの方法/常微分方程式への帰着/固有値問題/停留性の効果/高位の固有値/自然な境界条件/膜の振動/板の振動/Shrodinger方程式/停留値と停留函数/散乱位相、散乱長/函数の比勾配/散乱位相の変分表式/他の変分表式
第７章：変分法による近似解法II：上下界の評価
比較法/相反定理とFriedrichs変換の応用、比勾配/近似函数の評価/容量/容量の上下界/弾性論/柱体の捩り剛性/非線型の問題、Thomas-Fermi方程式/相反定理の成立しない場合/散乱位相の上下界/散乱長の上下界/固有値の上下界/参考書
D:物理学の諸問題
第１章：拡散の現象
拡散の取扱い/分布函数と輸送方程式/輸送方程式の一つの解/輸送方程式の相反定理/拡散方程式の解の改良/拡散方程式の例題/補註-Laplace変換
第２章：波動
波動方程式/円筒による波の散乱/波長の短い波の円筒による散乱/球による波の散乱/分散公式/因果律と分散公式/ミクロ因果律と分散公式/相反関係（reciprocity）/小さな散乱体
第３章：電磁波の境界値問題
Maxwellの方程式/エネルギー、運動量および力/波動方程式、平面波/導波管の一般的性質/長方形管/直方体空洞の中の固有振動/電磁ポテンシアル/補助定理/管の中での輻射/Bessel函数の応用/球Bessel函数の応用/補註-とうげ道の方法
第４章：プラズマの力学
プラズマ/基礎方程式/一つの静力学的な解/エネルギー定理、運動量定理、相似則/二成分系および準二成分系/平面的な横波/電荷の縦振動/準定常現象と準静的現象/軸対称な準定常解/ピンチされたプラズマ柱の安定性/トーラス管内のプラズマのつり合い
第５章：高速気流の解法
流体力学の基礎方程式
基礎方程式/完全流体の基礎方程式/縮む完全流体の定常な渦無し運動
M^2展開法
Janzen-Rayleighの方法/複素変数の導入/境界条件/第一近似/任意物体を過ぎる流れの複素速度ポテンシアル/任意物体の表面速度分布
薄膜理論
Prandtl-Glauertの法則/薄膜展開法/任意翼型の表面速度分布
高速気流の中の物体に働く力とモーメント
力とモーメントの一般式/任意物体のまわりの流れ/φ、ψの漸近公式/揚力・抵抗・モーメントの一般公式
ホドグラフ法
ホドグラフ法の基礎方程式/断熱法則にしたがう気体/特解の重ね合わせ/von Karman-tsienの近似/翼型に揚力の働くばあい/揚力とモーメントの一般公式/WKB法の応用/音よりおそい流れ/音よりはやい流れ/音に近い流れ/参考書
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年配の数学や物理学者の方たちに結構、愛読されていたようです。
名著なのでしょうね。
佐藤先生もこの本の影響を受けていたわけですか。
僕の場合学生時代は高木先生の「解析概論」をじっくり読んでいました。いま、もし物理学や他の数学書がなかったらこの本にハマっていたと思いますね。前編（増訂正改訂版）のほうはすごく読みやすいです。偏微分方程式の解法ってじっくり学んだことがないので新鮮ですよ。