群と表現：吉川圭二

「群と表現：吉川圭二」

Caltechの大栗博司先生がブログの記事で薦めていらっしゃった「群と表現：吉川圭二」をようやく読み終えた。手頃な分量で有限群、連続群、リー代数（リー環）やそれらの表現論を学ぶことができる。

「連続群論入門 (新数学シリーズ18)：山内恭彦、杉浦光夫」では多少もやもやしてしまったが、本書は物理学生向けに直観的かつ具体的な行列表現を示しながら解説が進むので読みやすかった。表現論の入門書としては易しい本のひとつなのだろう。扱われている内容も盛りだくさんでバランスが良い。

また本書を含め岩波書店の「理工系の基礎数学シリーズ」は、それぞれ各分野を広く（そして浅く）紹介し、概要を知るのに適している。

本書の後半では素粒子物理学で使われる「ヤング図」や「ディンキン図」も紹介されている。僕にとってこれらは初めて目にするもので、目新しい道具を手にしたような感じだった。理解はおぼついていないが、どうにか使えそうなレベル。素粒子物理を学ぶ段階でその価値がわかるのだろう。それより量子力学と群論や表現論の関わり方をつかめたのが収穫だったのかもしれない。

なお、本書では特殊相対論に関わってくるローレンツ群については触れられていないので注意していただきたい。また理工系学生向けなので、数学的厳密性を重視される方が読むと不満が残ることも付け加えておこう。


さて次の本だが、本書で若干物足りない感があったので同じテーマで追求してみることにした。つまり次の２冊は今回の本にも増してよさそうだ。こちらにはローレンツ群も取り上げられている。ただ、こちらはあくまで群の表現についての本で、リー環については第２巻の最後で少し説明されている程度なので要注意だ。

「線形代数と群の表現〈1〉：平井武」
「線形代数と群の表現〈2〉：平井武」


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「群と表現：吉川圭二」


目次

０　序

１　群
1-1　対称性と群
1-2　群の定義
1-3　組みかえ定理
1-4　剰余類，不変部分群
1-5　剰余類群
第１章　演習問題

２　対称群
2-1　対称群
2-2　交代群
2-3　ケーリーの定理
2-4　対称群の共役類
2-5　共役類の元の数
第２章　演習問題

３　ベクトル空間
3-1　ベクトル空間と線形演算子
3-2　計量ベクトル空間と連続群
3-3　エルミート行列
3-4　関数空間とディラック記法
第３章　演習問題

４　有限群の表現
4-1　C3vの表現
4-2　シュールの補題
4-3　指標
4-4　正規表現
4-5　指標の第２種直交性
4-6　積表現と既約分解
第４章　演習問題

５　有限群の応用
5-1　既約表現の例
5-2　誘導表現
5-3　量子力学と群論
5-4　点群と分子振動
第５章　演習問題

６　連続群とリー代数
6-1　リー群
6-2　無限小変換とリー代数
6-3　リー代数とリー群
第６章　演習問題

７　回転群
7-1　回転群SO（３）
7-2　SO（３）の構造
7-3　リー代数とその表現
7-4　直積と既約分解
7-5　ウィグナー－エッカルトの公式
7-6　回転群の表現列とSU（２）
7-7　ハール測度と表現の直交性
第７章　演習問題

８　単純群リー代数とその表現
8-1　リー代数と随伴表現
8-2　ルート
8-3　ディンキン図
8-4　ウェイトと既約表現
第８章　演習問題

９　SU（３）
9-1　 SU（３）群のリー代数
9-2　高次元表現
9-3　テンソルとヤング図
9-4　クレプシュ－ゴルダン分解
9-5　３次元調和振動子
第９章　演習問題

10　単純群リー代数の分類
10-1　分類推定
10-2　ランク２の単純群
第10章　演習問題

付録A　ディラック記法と表現の変換
付録B　格子群とその表現
B-1　ユークリッド群，格子群，空間群
B-2　逆格子と格子群の表現
B-3　ブルリアン域と結晶内波動関数

さらに勉強するために
演習問題解答
附　表
索　引