中３数学「相似な図形」を学ぼう 第３７回

【中３数学】相似な図形・第３７回 中点連結定理④「台形」への利用・発展
生徒Ａ子：「あのね，
№２６ｓだけど…
どこが，台形の中点連結定理なの？」
へ？
タイトル！
生徒Ａ子：「ばっか！」

あの，ですね。
№２６だからして，いちおうタイトルは「台形の中点連結定理」ですが…
内容は，「§２の比と平行線」の総合問題というか，まとめというか
発展問題です。
発展とは，いろいろな性質を組み合わせて解かなければなりません，
という意味です。
ひとつ，ひとつのことは，分かっても
それらの組み合わせ方が，実は難しいのであって…
それはそれで，いろいろな問題を解きながら
経験してみなければなりません。

とりわけ，相似がらみの問題は，この点が顕著で
ま，難しい問題にであったら，相似のいろいろな性質が使えないか
を考えるのも”手”です。

今回の問題は，１題ですが…
相似な三角形の性質や比と平行線の性質などといったことなど…
相似がらみの諸性質を組合せながら
解く問題です。

生徒Ａ子：「う～っ！
　　　　　小難しいんだ…」
いえ，”小”ではなく，
”大”難しいです。
しかし，
こうした”手”を知ってる人にとっては…
「ああ，この”手”で解くのですね…」てなもんで…
いたって”易しい”というか，”典型的な”ものです。

生徒Ａ子：「高さが等しい台形の面積の比ですけどね…
　　　　　いちいち面積など計算しなくとも，
　　　　　高さと÷２というのが同じだから約分して…
　　　　　（上底と下底の和）の比を求めるだけでいいんじゃないの？」
お～っ，するどい！
今朝，なに，食ってきたの？
生徒Ａ子：「ふん！」

三角形や台形の面積比を求める問題で，高さが等しいときは
面積は底辺とか上底と下底の和の比に比例します。
この性質は，超重要です。
とりわけ入試問題ではこの”手”を使って解く問題が頻出します。
高さが等しい図形を見たら，面積比，そく，底辺の比…
を思い浮かべましょう。

あ，プリントの解き方ですが…
これは，Ａ子くんでも理解出来るようにという配慮で…
高さをｈとおいて，台形の面積を求める公式にあてはめて
面積を求めています。
しかし，結局は，ｈと÷２は約分してなくなるので，
面積の比は，（上底と下底の和）の比に等しくなります。
Ａ子くんをはいりょ…
生徒Ａ子：「ふん！」

では，「比と平行線」のまとめの意味で…
”大”難しい問題ですが，典型的な問題を１題やってみましょう。
生徒Ａ子：「ふぁ～～～あああ！
　　　　　終わった，おわったっ！」
いや，いや，まだ，まだ終わってないのっ！
これからお勉強始めるのでしょうが…
生徒Ａ子：「へ！？
　　　　なんで？」
なんでって，あんた…
まとまらないけど，お勉強いきます！
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中３数学「相似な図形」を学ぼう 第３６回

【中３数学】相似な図形・第３６回 中点連結定理④　「台形」への利用
「中点連結定理」の学習の第４回目になります。
最終回です。
「中点連結定理」は，すでに覚えましたね。
はい，確認です。
Ａ子くん，どうぞ！
生徒Ａ子：「へ？」
「中点連結定理」を言って下さい。
生徒Ａ子：「…」
ったく…
「三角形の２辺の中点を結ぶ線分は
他の辺と平行で長さが半分になる。」
ですがね…
しっかり，覚えて下さいよっ！

今回は，「中点連結定理」を台形へ応用してみます。
台形の中点連結定理です。

「台形の平行でない２つの辺の中点を結ぶ線分は
上底と下底に平行で，それらの長さの和の半分になります。」

これが，台形の中点連結定理です。
この定理は，三角形の中点連結定理を使って証明できます。
（№２６（１／５）★解法の技術★で証明の練習をします）
生徒Ａ子：「ふむ！」
今度は，しっかりと覚えて下さいね。
生徒Ａ子：「ほい！」
では，はい，「中点連結定理」を言って下さい！
生徒Ａ子：「へ！？」
あのね，覚えたんじゃないの？
生徒Ａ子：「うん！」
ためだこりゃ，次，いきます。

証明のあとで，この定理を使って
台形に含まれるいろいろな線分の長さを求めてみます。
ま，図形問題の常道です…
いきなり小難しい問題は扱いませんから…
ひとつひとつ，じっくり定理の活用方法を身につけて下さい。

では，いきます。
中点連結定理，台形バージョンです。
生徒Ａ子：「ほい！
　　　　　いくべ，いくべ…」
…！
では，はい，「中点連結定理」を言って下さい！
生徒Ａ子：「へ！？
　　　　　あのね，同じパターンを繰り返すと，
　　　　　お客様に笑われるよ！」
うむ…！
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中３数学「相似な図形」を学ぼう 第３５回

【中３数学】相似な図形・第３５回 中点連結定理③四角形の判別問題
中点連結定理の学習の第３回目になります。
「三角形の２辺の中点を結ぶ線分は
他の辺と平行で長さが半分になる。」
これが「中点連結定理」でしたね。

「中点連結定理」で学ぶことは，次の４つです。
①まず，この定理を証明できること。
　さらに，この定理を使って，四角形が平行四辺形であることを証明できること
②次に，この定理を使って，三角形のある角度を求めることができること。
③そして，この定理を使って，ある四角形がどんな四角形であるかを判別できること。
（今回は，③の学習になります。）
④最後が，「中点連結定理」の台形への利用
です。

生徒Ａ子：「へ～っ！
　　　　　そんなことやってたんだ…」
あなた，ねぇ…
何をやってるか，わからんでお勉強してたの？
生徒Ａ子：「うん，そうだよ…
　　　　　それが，なにか？」
だめだ，こりゃ…

はい，次いきます。
というような事情で，「中点連結定理」の第３回目ということで…
「中点連結定理」を使って，
与えられた四角形が，どんな四角形であるかを判別する問題をやります。

ほれ，四角形にはどんなの，あるの？
生徒Ａ子：「四角形，ねぇ…」
ぽん，と答えるの，ぽんと！
生徒Ａ子：「ぽん！」
ん！？
だめだ，これも！
はい，お勉強いきます。

四角形を判別するのに，「中点連結定理」を適用してみます。
あ，言っておきますが…
四角形には，次の６種類があります。
四角形，台形，平行四辺形，ひし形，長方形，正方形
生徒Ａ子：「そげんこと…
　　　　　知っとるが…」
あ，そう！
生徒Ａ子：「…」
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中３数学「相似な図形」を学ぼう 第３４回

【中３数学】相似な図形・第３４回 中点連結定理②（証明と求角問題）発展
辺が平行だの，等しいなどの条件がやたらとついた図形で…
例えば，∠ａと∠ｂの間に成り立つ関係式を求めなさい，
などといった問題は…
どちらさんも苦手のようですねぇ…

生徒Ａ子：「んだずねぇ…
　　　　　なに，書いていいんだか，
　　　　　おたおたするべした…」
”べした”？
あなた，どこの出身？
生徒Ａ子：「山形だけんど，
　　　　　それが，なにか？」
いや，けっこうです。

ま，今回は，
角と角の間に成り立つ関係式を
どのようにして説明するかについて
学んでいただきましょう。
もちろん，「中点連結定理」を使った説明です。

超ていねいな「説明」のサンプルがあり，
穴埋め形式の問題になっておりますが，
　①まず，この［　　］の中に正しい記号や文字や数値を入れることができるように練習すること
　②次に，このサンプルがなくとも，自分で最初から説明を記述できるように練習すること
この２つの作業を”徹底して”やって下さい。
”徹底”しないで，「ま，わかったがね…」でやめてしまうと…
実際のテストでは使えません。
夢に出てくるくらいに，繰り返し練習して，
頭に刻み込むことが肝要です。

いいですね，Ａ子くん！
生徒Ａ子：「いいべした…」
あの～
その言い方って山形弁としては変じゃないですか？
”んだ，んだ”
でいいような気がしますが…
生徒Ａ子：「へ？
　　　　　そうなの？」
あなた，ねぇ…
山形の人でしょ？
生徒Ａ子：「んだ！」

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中３数学「相似な図形」を学ぼう 第３３回

【中３数学】相似な図形・第３３回 中点連結定理②（証明と求角問題）
「中点連結定理」を使った求角問題を２題ほどやっておきます。
「中点連結定理」は，平行線を作る定理ですから…
当然，平行線の錯角や同位角，同側内角の性質を使って
角度を求めることになります。
では，お勉強，いきます。

生徒Ａ子：「ちと，ちと，ちと…
　　　　　コメントは，たったそれだけ？」
はい，これだけですが…
生徒Ａ子：「ちと，手抜きじゃないの？」
でも，もう，言うこと，ないです。
生徒Ａ子：「うむ！」
こういう日もあります。
では，さっそくお勉強，いきましょう。
「中点連結定理」を使って角度を求めてみます。

あ，言い忘れましたが…
な～となく角度を求めて答えを書いて，
当たった，はい，おしまい…
なんて，三流問題集のようなお勉強ではありませんよ。
なぜ，その角度になるのかを証明しながら…
答えを求めます。
生徒Ａ子：「そう，そう，
　　　　　中学数学講座は，そうでなくちゃ，ね！」
うん，うん
よ～く，わかっていらっしゃいます。
心強いですねぇ，Ａ子くん！
生徒Ａ子：「う～っ！
　　　　　ほめられちった…」
…っっ
あのね，
あなた，中３でしょ？
ま，いいか
では，いきますよ～。
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