中１数学「比例と反比例」を学ぼう 第１１回

【中１数学】比例・第１１回　変域(3)発展

ローソクの問題ですが，

２０㎝のローソクがあって，毎分２㎝ずつ燃えます。
χ分後のローソクの長さをｙ㎝とします。
χとｙの関係を述べなさい。
ｙが，２≦ｙ≦５とするときの，χの変域を求めなさい。

　答（その１）　９≦χ≦７．５
　答（その２）　１６≦χ≦１０

上の２つの答に，大笑いしてあげることができましたか。
え？
笑えない？
そりゃ，なんと…！

あのね，不等号”≦”の記号の意味だけど…
　左辺≦右辺
というときは，右辺の方が大きい，という意味なの。
つまり，不等号の，開いている方が大きいのです。
だから，
　答（その１）　９≦χ≦７．５
は，”おかしいわけ”です。
９の方が７．５より小さいなんて…
”おかしい”から，笑えるのです…
ハハハ…
生徒Ａ子：「あの～っ
　　　　　この場合の”おかしい”は，”変”という意味でしょ？」
ん？
まっすぐ考えちゃダメ！
ギャグ，ぎゃぐ！
ギャハハハハ…
あ，失礼しました。

それから，
答（その２）１６≦χ≦１０　が，なぜ”おかしい”かというと…
上のローソクの問題で，ｙとχの関係を式で表すと
ｙ＝２０－２χ
だから，２≦ｙ≦５のときのχの変域をもとめると…
　・ｙ＝２のとき，２＝２０－２χより，χ＝９
　・ｙ＝５のとき，５＝２０－２χより，χ＝７．５
で，７．５≦χ≦９　が正解なわけですが…
こともあろうに，これを，次のように計算したのですね。
　　２０－２×２＝１６
　　２０－２×５＝１０
で，１６≦χ≦１０

χもｙも，それが表す量を無視して，
安易に計算できる思いつきの”手”を
”形而上学的に”使っただけなんです。
だから，さらに，さらに，
大笑いをして差し上げなければならないわけでして…

さて，大笑いされないように，類題を用意しました。
グレードアップした類題です。
発展問題です。
さあ，今度は大笑いされないように，
上の例をしっかりと学び，解いて見ましょう。
いいですね，Ａ子くん！
生徒Ａ子：「ふん！」
すねてます！
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中１数学「比例と反比例」を学ぼう 第１０回

【中１数学】比例・第１０回　変域(3)

ｙの「変域」を求めるお勉強をしました。
ｙの「変域」を求めにゃならんのなら…
生徒Ａ子：「χの”変域”も求めにゃならん！
　　　　　というのが，世の定めでしたね，センセ！」
うむ！
先をこされた！
そうゆうことです。
では，”そうゆうこと”をお勉強しましょ。

ローソクのお話，いきましょね。
このまえにやってますから，おなじみさんです。

２０㎝のローソクがあって，毎分２㎝ずつ燃えます。
χ分後のローソクの長さをｙ㎝とします。
χとｙの関係を述べなさい。
また，χとｙの変域を求めなさい。

ま，こんな問題になります。
χもｙも限りがありますから，自ずと変域が決まっています。
このように，χとｙの変域に限りがある問題というのが
けっこうあります。

ローソクは，２０㎝ですから，燃え尽きておしまい。
だから，ｙの変域は
　０≦ｙ≦２０
毎分２㎝ずつ燃えるから，１０分で燃え尽きて，おしまい。
だから，χの変域は
　０≦χ≦１０
のようにして，変域を求めていきます…

生徒Ａ子：「な～んだ，わりと安易ですね。」
はい，この問題くらいですと，安易に求めることができます。
しかし…
たとえば，毎分１.６㎝ずつ燃えるとすると…
χの変域をどうなりますか。
生徒Ａ子：「うぐ…」
この場合には，χの変域は，
計算を使って求めなければなりません。
つまり，χの変域とは何か，が問われるわけです。

さらに，例えば
「χが，２≦χ≦５とするときの，ｙの変域を求めなさい。」
というような形の問題もあります。
この場合は，
「２分後から，５分後までのローソクの長さの範囲を求めなさい」
という意味です。

逆に，
「ｙが，２≦ｙ≦５とするときの，χの変域を求めなさい。」
という問題もあります。
ところで，この問題は，どうゆう意味ですか。
生徒Ａ子：「ん？
　　　　　突然，ふられても…」
聞いていなかったの？
生徒Ａ子：「そんなことないけど…
　　　　　ｙは，ローソクの長さだから…
　　　　　ローソクが２㎝から５㎝になるときの
　　　　　時間の範囲を求めなさい，かな…？」
ほ～っ，
ローソクって，燃えると長くなるの？
生徒Ａ子：「…？？？」
燃えると，２㎝から５㎝になるんでしょ？
生徒Ａ子：「そんなことないでしょうが…
　　　　　センセ，も少し勉強してよ！」
あんた，そう言ったでしょうが，さっき！

笑っているあなた，いるのですよ，
こうゆう”形而上学的”に考える人…
つまり，”機械的に”前の例を当てはめて考える…
ということですが…
そして，９≦χ≦７.５
と書いて，満足して，”にこにこ”している人…

最悪なのは，１６≦χ≦１０
と答える人…
生徒Ａ子：「ん？
どこが，ちがうの？」
え？
わからんの？
では，そうゆう問題意識をもって，
「χとｙの変域を求める」問題をやってみましょう。
この№のお勉強を終えてから，
もう一度，ここを読んで…
大笑いして，さしあげましょうね…
ははは…
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中１数学「比例と反比例」を学ぼう 第９回

【中１数学】比例・第９回　変域(2)

「変域」のなんたるか，がわかったところで…
…ところ，になっているでしょうね，Ａ子くん！
変域って，なんでしたかねぇ？
生徒Ａ子：「変数のとりうる範囲でしょ？」
はい，よろしい，
たいへんよくおわかりのようで…
次，いきます。

次は，その変域を求めてみます。
変数は，χとｙがあるわけですから…
それぞれについて，変域があります。
つまり，
　χの変域
　ｙの変域

そこで，今回は，まず，「ｙの変域」を求めてみます。
χとｙが，ｙ＝８０χという関係にあるとき…
χの変域をかってに決めてみます。
たとえば，０≦χ≦１０
このとき，ｙがどのような値をとるか，を調べるのが
ｙの変域を求める，ということです。
生徒Ａ子：「な～んだ，
　　　　　ｙ＝８０χのχに０と１０を代入してｙの値を求めて…
　　　　　０≦ｙ≦８００
　　　　　でしょ？」
ん？
ど…，ど…，どして…，わかるの？
生徒Ａ子：「塾で習った！」
むっ！
いるんですね，こうゆう，先走る生徒！
実に，やりにくい…

こちらは，こちらで，やりまホ…
では，「ｙの変域」を求めるお勉強です。
Ａ子くんのお話は，聞かなかったことにして，いきます。
生徒Ａ子：「はい，
　　　　　話さなかったことにして，いきまホ…」
…！！
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中１数学「比例と反比例」を学ぼう 第８回

【中１数学】比例・第８回　変域(1)

以前に，「変数」というのは，お勉強しました。
覚えていますか。
生徒Ａ子：「おぼえてるよ，
　　　　　いろいろな値をとる文字のことでしょ？
　　　　　変な数じゃないよ，センセ
　　　　　まちがわんといてね！」
だれが，まちがうか！

それは，それとして…
そいで，いろいろな値をとるといっても…
いろいろな値をとり続けてると，手に負えません。
いや，そうではなくて…
とり続けない量ってのもあります。

たとえば，
２０㎝のローソクがあって，
１分間に２㎝ずつ燃えていくと…
時間とローソクの残りの長さを
ともなって変わる量として考えるとき…
時間とローソクの残りの長さには，限りがあります。
１０分間たつと，残りはなくなります。
ここで，お話は終わりです。
生徒Ａ子：「じゃあ，帰る！」
いや，そうゆうことじゃなくて…
もう，ローソクの残りは問題にできない，というお話ぃ！
つまり，変数に範囲があるのですね。
この変数の範囲のことを「変域」となづけます。

そして，数学ですから，変域も記号で表さねばなりません。
時間をχ分とし，ローソクの残りの長さをｙ㎝とすれば，
χは，０分から始まって，１０分でおしまい。
ｙは，２０㎝から始まって，０㎝でおしまい。
これを，記号では，次のように表します。
　　０≦χ≦１０
　　０≦ｙ≦２０
じゃんじゃん！

はい，これで変域のお話は，み～んなおしまい！
生徒Ａ子：「じゃあ，ほんとに，帰る！」
あ，まだ，帰っちゃダメ！
これから，変域のお勉強を深めるのでしょうが…
いまのは，イントロです，いんとろ！
生徒Ａ子：「いんとろって，なに？」
さわり，おさわり！
生徒Ａ子：「ん，まあ！…」
あまり，先を読まんでください…
ようするに，”予告編”のこと！
それでは，変域の”本編”のお勉強，いきます。
生徒Ａ子：「ほ～い！」
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中１数学「比例と反比例」を学ぼう 第７回

【中１数学】比例・第７回　比例を表す式(6)発展

№１　ともなって変わる量
№２　変数
№３　比例を表す式と比例定数
№４　比例の性質
№５　比例の式の判別
…
と，比例の問題を解くときの「道具」を，しこしこ貯めてきました。
これだけ「道具」をそろえると，比例の問題なんぞ
簡単に”料理”することができるようになります。

生徒Ａ子：「…と，前回，のたまわったでしょ？
　　　　　でも，今回の問題だけど…
　　　　　どうも，”料理”がでけんがね…
　　　　　レシピ，ないの？」
レシピですか…
【考え方】が，レシピなんですけど…

でもね，
時間と針の回転角度がともなって変わる量で…
例えば，長針について考えると，
６０分で３６０°回るから，１分あたり６°回るでしょ？
これが比例定数で
　　ｙ＝６χ
これが，χとｙの関係式。
パターン通りでしょ？
どっか，パターンとはずれた？
生徒Ａ子：「…でも，ないけど…」
短針も同じことで，
４０分で回る角度なんか，
「１分当たりの回転角度×時間」で求める事ができるしぃ，
これって，算数でしょ？
短針と長針の差なんかも小学２年生のひき算！
ほれ，
どこがむずかしいの？
生徒Ａ子：「でも…！」
でもも国会もないでしょが？
生徒Ａ子：「ん？
　　　　　なんで，ここに”国会”が出てくるの？」
あ，昔，昔，
デモは，国会に行くことに決まっていたの，
”あんぽとうそう”というのがあって…
生徒Ａ子：「…？？？」
あ，失礼しました。
時代が，半世紀ばかりずれてました…
ははは…

そんなこと言いたかったではありません。
ようするに，
比例はパターンなの！
パターンからはずれて，比例は生きていけないのですぅ！
生徒Ａ子：「ふ～ん！
　　　　　比例って，わりとかわいそうなのね。」
…！
そうゆう発想になるんですか…
ま，いいでしょう。
と，いうわけで，”時計の問題”も
パターンで切り込みます！
では…
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