アマデウス先生 @amadeus_sensei多様体Mにリー変換群Gが推移的に作用しているとき、Mを変換群Gの等質空間(homogeneous spaces)という。Mの点xの固定群をHとすると、G/Hの元gHにMの元gxを対応させることにより1対1対応が定まる。Gの連結成分の個数がたかだか可算のときこの対応は微分同相になる
これによってG/HとMは同一視できる。Gを連結リー群としHをGの閉部分群とする。Gを全空間、G/Hを底空間とするH主束が存在する。以後これを主束G→G/Hで表す。GとGのリー環をそれぞれgとhで表すことにする。(1)gはある部分ベクトル空間mを持ち、g=h+mは直和になり、
Ad(H)m⊂mが成り立つと仮定する。Gの標準1次微分形式をθとおくと、直和g=h+mに関するθのh成分ωは主束G→G/H上の接続になり、しかも左不変になる。(2)逆に主束G→G/H上の左不変連続は、(1)の性質を持つ直和g=h+mを定め、
この直和から(1)の方法で得られる。X∈gの直和分解に関するh成分をX(h)で表すと、Gの左作用で不変な接続の曲率形式ΩはX.Y∈gに対してΩ(X.Y)=-(1/2)[X.Y]で与えられる。
等質空間の微分幾何学・積分幾何学 tulips.tsukuba.ac.jp/dspace/bitstre…
さらにGの左作用で不変な接続のホロノミー群のリー環は[X,Y](h)(X,Y∈m)という形の元の全体で張られる。リーマン多様体Mの等長変換群が推移的に作用するとき、Mをリーマン等質空間(Riemannian homogeneous space)という。
1960年頃A.RobinsonはTh.Skolem以来知られていた1階述語論理のペアノの公理の超準モデルにならい、実数体Rの超準モデルを考えることにより、無限小実数を導入してG.W.Leibniz流の無限小解析を合理化することに成功した。
その後Robinsonは高階の言語を使ってもっと強力な超準解析を独力で作りあげ、それを非常に広い領域に適用して大きな成功をおさめた。
空でない集合Uが次の4条件和や満たすとき、Uを宇宙(universe)という:
i) x∈U,y∈x⇒y∈U,(推移律)
ii) x.y∈U⇒{x.y}∈U,(対の公理)
iii) x∈U⇒UxU,(和集合の公理)
iv) x∈U⇒P(x)∈U.(ベキ集合の公理)
オリジナル楽器による演奏で光彩を放っているのは有田正広のフラウト・トラヴェルソとボッケリーニ・クヮルテットによるフルート四重奏曲全集である。simplog.jp/pub/15032897/46
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