テーマ：論理回路
先ず、ここで使う数字は０と１の二つだけだ。
Ｂ＝｛０，１｝
と覚えてもらいたい。
これは一般に、ブール代数と呼ばれるものである。
パソコンから何から、ディジタルの物は全てブール代数の法則に従う。
まぁ、そんな事はどうでもいい。
では、以下の関数を定義する。
ＮＡＮＤ（ｘ，ｙ）＝ｚ （ｘ，ｙ，ｚ∈Ｂ）
上記のように定める。
ここから、少しパズルのようになる。
なぜかと言えば、これから定める全ての関数は、
全てＮＡＮＤ（ｘ，ｙ）を有限回用いる事で作り出せる。
１.ＮＯＴ
ＮＯＴ（ｘ）＝ｙ （ｘ，ｙ∈Ｂ）
ＮＯＴ（ｘ）＝ＮＡＮＤ（ｘ，ｘ）
２.ＡＮＤ
ＡＮＤ（ｘ，ｙ）＝ｚ （ｘ，ｙ，ｚ∈Ｂ）
ＡＮＤ（ｘ，ｙ）＝ＮＯＴ（ＮＡＮＤ（ｘ，ｙ））
３.ＯＲ
ＯＲ（ｘ，ｙ）＝ｚ （ｘ，ｙ，ｚ∈Ｂ）
ＯＲ（ｘ，ｙ）＝ＮＡＮＤ（ＮＯＴ（ｘ），ＮＯＴ（ｙ））
４.ＮＯＲ
ＮＯＲ（ｘ，ｙ）＝ｚ （ｘ，ｙ，ｚ∈Ｂ）
ＮＯＲ（ｘ，ｙ）＝ＡＮＤ（ＮＯＴ（ｘ），ＮＯＴ（ｙ））
ＮＯＲ（ｘ，ｙ）＝ＮＯＴ（ＯＲ（ｘ，ｙ））
５.ⅩＯＲ
ⅩＯＲ（ｘ，ｙ）＝ｚ （ｘ，ｙ，ｚ∈Ｂ）
ⅩＯＲ（ｘ，ｙ）＝ＡＮＤ（ＮＡＮＤ（ｘ，ｙ），ＯＲ（ｘ，ｙ））
どうだろうか。
実に良く出来ているとは思わないだろうか。
これで終わりだと思ったら大間違いだ。
６．ＰＡＲＩＴＹ
ＰＡＲＩＴＹ（ｘ，ｙ，ｚ）＝ｔ （ｘ，ｙ，ｚ，ｔ∈Ｂ）
ＰＡＲＩＴＹ（ｘ，ｙ，ｚ）＝ＸＯＲ（ＸＯＲ（ｘ，ｙ），ｚ）
さて、パズルは終わりだ。
次はマジックだろうか。
一応、PARITYを説明しておく。
パリティとは、１が奇数個なら１、偶数個なら０を返す関数である。
このパリティを用いると、データ復元を行うことが出来る。
ｘのデータが消滅したと仮定しよう。
ｘ＝ＰＡＲＩＴＹ（ｙ，ｚ，ｔ）
で、元のデータが復元できる。
例を見せよう。
ただし、簡略化する為にＸＯＲを用いる。
適当に、１００１１１００１１０１００１１０１
というデータがあったとしよう。
これを三つずつに分ける。
１００ １１１ ００１ １０１ ００１ １０１
次に、これを三つの紙テープに記録しよう。
仮に、Ａ、Ｂ、Ｃとする。
Ａ＝｛１１０１０１｝
Ｂ＝｛０１００００｝
Ｃ＝｛０１１１１１｝
1.ＡとＢのＸＯＲをＣに記録する。
2.ＢとＣのＸＯＲをＡに記録する。
3.ＣとＡのＸＯＲをＢに記録する。
つまり、
Ａ＝｛１１０１０１ ００１１１１｝
Ｂ＝｛０１００００ １０１０１０｝
Ｃ＝｛０１１１１１ １００１０１｝
さて、貴方はおっちょこちょいなので、
大事に保管していたはずのＣを失くしてしまったとしよう。
つまりは、
Ａ＝｛１１０１０１ ００１１１１｝
Ｂ＝｛０１００００ １０１０１０｝
Ｃ＝｛？？？？？？ ？？？？？？｝
さぁ慌てないで慌てないで。
ＣとＡのＸＯＲがＢにあるはずだ。
（ＢとＣのＸＯＲがＡにあるでも良い。）
ここからは、混乱せずにゆっくりと考えてもらいたい。
Ａのｌ(エル)番目をa_l、Ｂのｍ番目をb_m、Ｃのｎ番目をc_nと置く。
確か、Ｂの七番目(b_7)がＡの一番目(a_1)とＣの一番目(c_1)のＸＯＲだ。
と言う事は、b_7とa_1のＸＯＲはc_1のはずである。
ゆえに、
c_1 = XOR(a_1,b_7) = XOR(1,1) = 0
以下同様にして、
c_2 = XOR(a_2,b_8) = XOR(1,0) = 1
c_3 = XOR(a_3,b_9) = XOR(0,1) = 1
c_4 = XOR(a_4,b_10) = XOR(1,0) = 1
c_5 = XOR(a_5,b_11) = XOR(0,1) = 1
c_6 = XOR(a_6,b_12) = XOR(1,0) = 1
よって、
Ｃ＝｛０１１１１１ ？？？？？？｝
となる。
残りの“？”はＡとＢのＸＯＲであるが、元のデータでは無いので求めない。
さて、これで失われたＣが復元できた。
すなわち、
Ａ＝｛１１０１０１ ００１１１１｝
Ｂ＝｛０１００００ １０１０１０｝
Ｃ＝｛０１１１１１ ？？？？？？｝
後は、以下の様に並べる。
a_1,b_1,c_1,a_2,b_2・・・b_6,c_6
よって、
１００１１１００１１０１００１１０１
どうだろうか。
少しは暇な時間が潰せただろうか？
だと嬉しいのだが・・・
Ｂ＝｛０，１｝
と覚えてもらいたい。
これは一般に、ブール代数と呼ばれるものである。
パソコンから何から、ディジタルの物は全てブール代数の法則に従う。
まぁ、そんな事はどうでもいい。
では、以下の関数を定義する。
ＮＡＮＤ（ｘ，ｙ）＝ｚ （ｘ，ｙ，ｚ∈Ｂ）
| ｘ | ｙ | ｚ |
| ０ | ０ | １ |
| ０ | １ | １ |
| １ | ０ | １ |
| １ | １ | ０ |
ここから、少しパズルのようになる。
なぜかと言えば、これから定める全ての関数は、
全てＮＡＮＤ（ｘ，ｙ）を有限回用いる事で作り出せる。
１.ＮＯＴ
ＮＯＴ（ｘ）＝ｙ （ｘ，ｙ∈Ｂ）
| ｘ | ｙ |
| ０ | １ |
| １ | ０ |
２.ＡＮＤ
ＡＮＤ（ｘ，ｙ）＝ｚ （ｘ，ｙ，ｚ∈Ｂ）
| ｘ | ｙ | ｚ |
| ０ | ０ | ０ |
| ０ | １ | ０ |
| １ | ０ | ０ |
| １ | １ | １ |
３.ＯＲ
ＯＲ（ｘ，ｙ）＝ｚ （ｘ，ｙ，ｚ∈Ｂ）
| ｘ | ｙ | ｚ |
| ０ | ０ | ０ |
| ０ | １ | １ |
| １ | ０ | １ |
| １ | １ | １ |
４.ＮＯＲ
ＮＯＲ（ｘ，ｙ）＝ｚ （ｘ，ｙ，ｚ∈Ｂ）
| ｘ | ｙ | ｚ |
| ０ | ０ | １ |
| ０ | １ | ０ |
| １ | ０ | ０ |
| １ | １ | ０ |
ＮＯＲ（ｘ，ｙ）＝ＮＯＴ（ＯＲ（ｘ，ｙ））
５.ⅩＯＲ
ⅩＯＲ（ｘ，ｙ）＝ｚ （ｘ，ｙ，ｚ∈Ｂ）
| ｘ | ｙ | ｚ |
| ０ | ０ | ０ |
| ０ | １ | １ |
| １ | ０ | １ |
| １ | １ | ０ |
どうだろうか。
実に良く出来ているとは思わないだろうか。
これで終わりだと思ったら大間違いだ。
６．ＰＡＲＩＴＹ
ＰＡＲＩＴＹ（ｘ，ｙ，ｚ）＝ｔ （ｘ，ｙ，ｚ，ｔ∈Ｂ）
| ｘ | ｙ | ｚ | ｔ |
| ０ | ０ | ０ | ０ |
| ０ | ０ | １ | １ |
| ０ | １ | ０ | １ |
| ０ | １ | １ | ０ |
| １ | ０ | ０ | １ |
| １ | ０ | １ | ０ |
| １ | １ | ０ | ０ |
| １ | １ | １ | １ |
さて、パズルは終わりだ。
次はマジックだろうか。
一応、PARITYを説明しておく。
パリティとは、１が奇数個なら１、偶数個なら０を返す関数である。
このパリティを用いると、データ復元を行うことが出来る。
ｘのデータが消滅したと仮定しよう。
ｘ＝ＰＡＲＩＴＹ（ｙ，ｚ，ｔ）
で、元のデータが復元できる。
例を見せよう。
ただし、簡略化する為にＸＯＲを用いる。
適当に、１００１１１００１１０１００１１０１
というデータがあったとしよう。
これを三つずつに分ける。
１００ １１１ ００１ １０１ ００１ １０１
次に、これを三つの紙テープに記録しよう。
仮に、Ａ、Ｂ、Ｃとする。
Ａ＝｛１１０１０１｝
Ｂ＝｛０１００００｝
Ｃ＝｛０１１１１１｝
1.ＡとＢのＸＯＲをＣに記録する。
2.ＢとＣのＸＯＲをＡに記録する。
3.ＣとＡのＸＯＲをＢに記録する。
つまり、
Ａ＝｛１１０１０１ ００１１１１｝
Ｂ＝｛０１００００ １０１０１０｝
Ｃ＝｛０１１１１１ １００１０１｝
さて、貴方はおっちょこちょいなので、
大事に保管していたはずのＣを失くしてしまったとしよう。
つまりは、
Ａ＝｛１１０１０１ ００１１１１｝
Ｂ＝｛０１００００ １０１０１０｝
Ｃ＝｛？？？？？？ ？？？？？？｝
さぁ慌てないで慌てないで。
ＣとＡのＸＯＲがＢにあるはずだ。
（ＢとＣのＸＯＲがＡにあるでも良い。）
ここからは、混乱せずにゆっくりと考えてもらいたい。
Ａのｌ(エル)番目をa_l、Ｂのｍ番目をb_m、Ｃのｎ番目をc_nと置く。
確か、Ｂの七番目(b_7)がＡの一番目(a_1)とＣの一番目(c_1)のＸＯＲだ。
と言う事は、b_7とa_1のＸＯＲはc_1のはずである。
ゆえに、
c_1 = XOR(a_1,b_7) = XOR(1,1) = 0
以下同様にして、
c_2 = XOR(a_2,b_8) = XOR(1,0) = 1
c_3 = XOR(a_3,b_9) = XOR(0,1) = 1
c_4 = XOR(a_4,b_10) = XOR(1,0) = 1
c_5 = XOR(a_5,b_11) = XOR(0,1) = 1
c_6 = XOR(a_6,b_12) = XOR(1,0) = 1
よって、
Ｃ＝｛０１１１１１ ？？？？？？｝
となる。
残りの“？”はＡとＢのＸＯＲであるが、元のデータでは無いので求めない。
さて、これで失われたＣが復元できた。
すなわち、
Ａ＝｛１１０１０１ ００１１１１｝
Ｂ＝｛０１００００ １０１０１０｝
Ｃ＝｛０１１１１１ ？？？？？？｝
後は、以下の様に並べる。
a_1,b_1,c_1,a_2,b_2・・・b_6,c_6
よって、
１００１１１００１１０１００１１０１
どうだろうか。
少しは暇な時間が潰せただろうか？
だと嬉しいのだが・・・
以上
