テーマ:フィボナッチ数列の一般項を求める
先ず、フィボナッチ数列とは。
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,・・・
という数列である。
これを見て、すぐ一般項を与えられる人は天才であろう。
上記数列を、
とおく。
この時、
の漸化式は・・・
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/57/05/d172d51fafb3385aa64ccada15a04044.png)
・・・*
である。
結論から言ってしまうと、一般項は・・・
・・・①
では、これを証明する。
証明)
①から、
が成り立つ。
*の漸化式
が成り立つことを示すため、
2次方程式
・・・②
の2つの解![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/72/e2/d50fa7b872c67e09b43e44f32971bfff.png)
を考えると![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/1d/05/4e4835f03a3683b26da6cbb1601c79cc.png)
また、②から![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/64/19/f09e65b9e6357eaf748862b0dcba944e.png)
よって
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/25/8b/89db384b2397d928cb4b120770b8894e.png)
従って、数列
は条件*を満たす。 Q.E.D
疲れた割に、あまり面白い記事でない事が残念である。
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,・・・
という数列である。
これを見て、すぐ一般項を与えられる人は天才であろう。
上記数列を、
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/24/95/f48e7ee9a13095fe850061d459774274.png)
この時、
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/24/95/f48e7ee9a13095fe850061d459774274.png)
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/57/05/d172d51fafb3385aa64ccada15a04044.png)
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/30/49/89fb892b1969f388733f58f8a223e2f8.png)
である。
結論から言ってしまうと、一般項は・・・
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/4c/fb/9220ebad8cd8ae8ec3af470e5f1d6418.png)
では、これを証明する。
証明)
①から、
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/30/49/89fb892b1969f388733f58f8a223e2f8.png)
*の漸化式
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/57/05/d172d51fafb3385aa64ccada15a04044.png)
2次方程式
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/3a/bc/b63b578417eb5b86519bb649d5ff8a98.png)
の2つの解
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/72/e2/d50fa7b872c67e09b43e44f32971bfff.png)
を考えると
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/1d/05/4e4835f03a3683b26da6cbb1601c79cc.png)
また、②から
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/64/19/f09e65b9e6357eaf748862b0dcba944e.png)
よって
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/25/8b/89db384b2397d928cb4b120770b8894e.png)
従って、数列
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/24/95/f48e7ee9a13095fe850061d459774274.png)
疲れた割に、あまり面白い記事でない事が残念である。
以上