整数問題

整数論的問題

「ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ＝ｘｙｚを満たす自然数ｘ，ｙ，ｚを求めよ。」

実は、有限の組み合わせしかなく、容易に求めることが出来る。
（ｘ，ｙ，ｚ）＝（３，３，３）
これは勘で分かるが、他は勘では出来ないと思う。

解答は↓に。
完璧な解答は長いので、少し端折るが、理解は容易だ。

先ず、ｘ，ｙ，ｚの大小関係を考える。
すると、全部書きはしないが、６通りある。
例えば、ｘ≦ｙ≦ｚである。
この大小関係を元に求めれば、他も同様に求められるはずである。

ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ＝ｘｙｚ・・・①
０＜ｘ≦ｙ≦ｚ・・・②
ｘ，ｙ，ｚ∈Ｎ・・・③

②より、
３ｘｙ≦ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ≦３ｙｚ
（ここで、３ｘ＾２≦ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ≦３ｚ＾２だと上手くいかない。）
①を用いて、
３ｘｙ≦ｘｙｚ≦３ｙｚ
よって、３≦ｚ，ｘ≦３
②を用いて、
ｘ＝１，２，３

Ⅰ．ｘ＝１
①：ｙ＋ｙｚ＋ｚ＝ｙｚ
∴ｙ＋ｚ＝０
③に矛盾。

Ⅱ．ｘ＝２
①：２ｙ＋ｙｚ＋２ｚ＝２ｙｚ
∴ｙｚ－２ｙ－２ｚ＝０
∴(ｙ－２)(ｚ－２)＝４
ここで、②及びｘ＝２より、２≦ｙ≦ｚ
∴０≦ｙ－２≦ｚ－２
よって、
(ｙ－２，ｚ－２)＝(１，４)，(２，２)
∴(ｙ，ｚ)＝(３，６)，(４，４)

Ⅲ．ｘ＝３
①：３ｙ＋ｙｚ＋３ｚ＝３ｙｚ
∴２ｙｚ－３ｙ－３ｚ＝０
∴(２ｙ－３)(ｚ－３/２)＝９/２
∴(２ｙ－３)(２ｚ－３)＝９
ここで、②とｘ＝３より、３≦ｙ≦ｚ
∴３≦２ｙ－３≦２ｚ－３
よって、
(２ｙ－３，２ｚ－３)＝(３，３)
∴(ｙ，ｚ)＝(３，３)

以上、Ⅰ，Ⅱ，Ⅲより、
(ｘ，ｙ，ｚ)＝(２，３，６)，(２，４，４)，(３，３，３)

後は、ｘ，ｙ，ｚの大小関係六通りに当てはめると、
これらの組み合わせがもれなく出てくるので、
(ｘ，ｙ，ｚ)＝
(２，３，６)，(２，６，３)，(３，２，６)，
(６，２，３)，(３，６，２)，(６，３，２)，
(２，４，４)，(４，２，４)，(４，４，２)，
(３，３，３)

つまり、答えは上記の１０通りである。
ここまで、良く考えずに読んだ方、勘で解いてみてくれ。