整数論的問題
「xy+yz+zx=xyzを満たす自然数x,y,zを求めよ。」
実は、有限の組み合わせしかなく、容易に求めることが出来る。
(x,y,z)=(3,3,3)
これは勘で分かるが、他は勘では出来ないと思う。
解答は↓に。
完璧な解答は長いので、少し端折るが、理解は容易だ。
先ず、x,y,zの大小関係を考える。
すると、全部書きはしないが、6通りある。
例えば、x≦y≦zである。
この大小関係を元に求めれば、他も同様に求められるはずである。
xy+yz+zx=xyz・・・①
0<x≦y≦z・・・②
x,y,z∈N・・・③
②より、
3xy≦xy+yz+zx≦3yz
(ここで、3x^2≦xy+yz+zx≦3z^2だと上手くいかない。)
①を用いて、
3xy≦xyz≦3yz
よって、3≦z,x≦3
②を用いて、
x=1,2,3
Ⅰ.x=1
①:y+yz+z=yz
∴y+z=0
③に矛盾。
Ⅱ.x=2
①:2y+yz+2z=2yz
∴yz-2y-2z=0
∴(y-2)(z-2)=4
ここで、②及びx=2より、2≦y≦z
∴0≦y-2≦z-2
よって、
(y-2,z-2)=(1,4),(2,2)
∴(y,z)=(3,6),(4,4)
Ⅲ.x=3
①:3y+yz+3z=3yz
∴2yz-3y-3z=0
∴(2y-3)(z-3/2)=9/2
∴(2y-3)(2z-3)=9
ここで、②とx=3より、3≦y≦z
∴3≦2y-3≦2z-3
よって、
(2y-3,2z-3)=(3,3)
∴(y,z)=(3,3)
以上、Ⅰ,Ⅱ,Ⅲより、
(x,y,z)=(2,3,6),(2,4,4),(3,3,3)
後は、x,y,zの大小関係六通りに当てはめると、
これらの組み合わせがもれなく出てくるので、
(x,y,z)=
(2,3,6),(2,6,3),(3,2,6),
(6,2,3),(3,6,2),(6,3,2),
(2,4,4),(4,2,4),(4,4,2),
(3,3,3)
つまり、答えは上記の10通りである。
ここまで、良く考えずに読んだ方、勘で解いてみてくれ。
「xy+yz+zx=xyzを満たす自然数x,y,zを求めよ。」
実は、有限の組み合わせしかなく、容易に求めることが出来る。
(x,y,z)=(3,3,3)
これは勘で分かるが、他は勘では出来ないと思う。
解答は↓に。
完璧な解答は長いので、少し端折るが、理解は容易だ。
先ず、x,y,zの大小関係を考える。
すると、全部書きはしないが、6通りある。
例えば、x≦y≦zである。
この大小関係を元に求めれば、他も同様に求められるはずである。
xy+yz+zx=xyz・・・①
0<x≦y≦z・・・②
x,y,z∈N・・・③
②より、
3xy≦xy+yz+zx≦3yz
(ここで、3x^2≦xy+yz+zx≦3z^2だと上手くいかない。)
①を用いて、
3xy≦xyz≦3yz
よって、3≦z,x≦3
②を用いて、
x=1,2,3
Ⅰ.x=1
①:y+yz+z=yz
∴y+z=0
③に矛盾。
Ⅱ.x=2
①:2y+yz+2z=2yz
∴yz-2y-2z=0
∴(y-2)(z-2)=4
ここで、②及びx=2より、2≦y≦z
∴0≦y-2≦z-2
よって、
(y-2,z-2)=(1,4),(2,2)
∴(y,z)=(3,6),(4,4)
Ⅲ.x=3
①:3y+yz+3z=3yz
∴2yz-3y-3z=0
∴(2y-3)(z-3/2)=9/2
∴(2y-3)(2z-3)=9
ここで、②とx=3より、3≦y≦z
∴3≦2y-3≦2z-3
よって、
(2y-3,2z-3)=(3,3)
∴(y,z)=(3,3)
以上、Ⅰ,Ⅱ,Ⅲより、
(x,y,z)=(2,3,6),(2,4,4),(3,3,3)
後は、x,y,zの大小関係六通りに当てはめると、
これらの組み合わせがもれなく出てくるので、
(x,y,z)=
(2,3,6),(2,6,3),(3,2,6),
(6,2,3),(3,6,2),(6,3,2),
(2,4,4),(4,2,4),(4,4,2),
(3,3,3)
つまり、答えは上記の10通りである。
ここまで、良く考えずに読んだ方、勘で解いてみてくれ。
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