三次方程式の解の求め方

QNo.6360118 112233445
2x^3 + (3 + √3)x^2 + (5 + √3)x + 2√3 + 2 = 0 を解け。

三次方程式は因数定理を用いて, 一次式×二次式に因数分解すればよいのは分かるのですが, …
一次式の因数をどうみつければよいのかよろしくお願いします
投稿日時 - 2010-12-03 14:20:20

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解答: ANo.2 mister_moonlight
方程式をばらすと,
(2x^3 + 3x^2 + 5x + 2) + (√3)*(x^2 + x + 2)
=(2x + 1)*(x^2 + x + 2) + (√3)*(x^2 + x + 2)
= (2x + 1 + √3)*(x^2 + x + 2)
= 0
と変形するだけ。
投稿日時 - 2010-12-03 14:38:39

複素数

QNo.6174295 112233445
α, β は複素数で, α の絶対値は 1, αβ' = β のとき,
z + αz' + β = 0
を満たす z が存在することを示せ。
(β', z' は共役複素数)

とりあえず, z + αz' + β と共役な z' + α'z + β との積
(z + αz' + β)(z' + α'z + β) を考えて, これが 0 になるような z があるといえばいいのかと思いましたが, 展開しただけで計算が進みません。
この考え方でいいのか, それとも別の考え方のほうがよいのか。
よろしくお願いします。

投稿日時 - 2010-09-11 12:35:34

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解答:
ANo.1 nag0720
z + αz' + β = 0
β'z + αβ'z' + ββ' = 0
β'z + βz' + ββ' = 0
β'z + (β'z)' + ββ' = 0
よって、β'zの実部は -ββ'/2

z = (-ββ'/2)/β' = -β/2
とすれば,
z + αz' + β = -β/2 - αβ'/2 + β = -β/2-β/2 + β = 0.

投稿日時 - 2010-09-11 14:23:18

三次方程式

QNo.6164711 shortcake27

三次方程式の問題です

三次方程式 x³ + x + 10 = 0 の 3 つの解を α, β, γ とするとき, 1/α, 1/β, 1/γ を解とする三次方程式をつくれ。
という問題がわかりません。
解と係数の関係を使ってみたりしたのですが, どうもうまくいきません。
どうか, おねがいします。

投稿日時 - 2010-09-07 10:23:30

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解答:
x =α, β, γ の何れかとする時, y = 1/x と置くと, y = 1/α, 1/β, 1/γ, respectively になる。
この時 x = 1/y だから代入して (1/y)³ + 1/y + 10 = 0.
両辺 y³ すれば 10y³ + y² + 1 = 0.
通常のように y を x で置き換えれば 10x³ + x² + 1 = 0.

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以前はこの位の事は高校でもやったものであったが。
(勿論 link 先での回答者のように, 地道に解と係数の関係を使っても出来ることは出来る)

平方根

(1) θ = (√5) + (√7) のとき
√7 = (13*θ)/2 - θ³/4 を示せ。

(2)θ = (√2) + (√5) + (√7) のとき,
√7 を (1) のような表示をせよ。

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解答:
(1) 一般に θ = (√a) + (√b), (a ≠ b, ab ≠ 0) とする時,
θ³ = (a + 3b)(√a) + (3a + b)(√b).
これらを連立させると
√a = ((3a + b)θ - θ³)/(2(a – b)),
√b = (θ³ - (a + 3b)θ)/(2(a – b))
特に a = 7, b = 3 とすれば, 最初の式から得られる。

(2) これは一般的にやると難しい。
θ³ = 38(√2) + 32(√5) + 28(√7) + 6(√70).
θ⁵ = 1664(√2) + 1160(√5) + 984(√7) + 280(√70).
θ⁷ = 68272(√2) + 44512(√5) + 37632(√7) + 11536(√70).
だから三乗の式から √70 = θ³/6 - (19(√2) + 16(√5) + 14(√7))/3.
これを五乗と七乗の式に代入して
328(√2) + 1000(√5) + 968(√7) = 140θ³ - 3θ⁵ … (a)
14268(√2) + 51040(√5) + 48608(√7) = 5768θ³ - 3θ⁷ … (b)
(√2) + (√5) + (√7) =θ … (c).
これらから先ず √2 を消去しよう。 (c) を用いて, (a), (b) から消すと
672(√5) + 640(√7) = 140θ³ - 3θ⁵ - 328θ … (d)
36772(√5) + 343340(√7) = 5768θ³ - 3θ⁷ - 14268θ … (e)
となる。 これらから更に √5 を消去すると (うちの最大公約数計算機君に掛けると最大公約数は 4 で, 168・4 = 672, 9193・4 = 36772 と出るので) 結局
√7 = (618280θ - 317996θ³ + 275779⁵ - 504θ⁷)/51797600
= 15457θ/1294940 - 79499θ³/12949400 + 275779θ⁵/51797600 - 63θ⁷/6474700.

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この問題は平方根の特殊な性質に依存しているようである。
多分三乗根では成立しない。
もしかしたら 2ⁿ 乗根ならば使えるかもしれない。

カテゴリは, 体の拡大と関係がありそうなので 「方程式・因数分解」 に入れておいた。
もしかしたら 「代数」 というカテゴリを作った方が良かったかもしれない。

剰余

QNo.6120901 mosura-ya
以下の問題が解けません。

関数 (sic. 多項式だろう) f(x) を x - α で割ると余りが m であった。
また f(x) を x² - β で割ると余りが px + q であった。
f(x) を (x - α)(x² - β) で割ると余りはいくらか。

どうアプローチしていいかもよくわかりません・・・解説よろしくお願いします。

投稿日時 - 2010-08-19 17:57:36

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解答:
多項式 f(x) を (x - α)(x² - β) で割った時の商を Q(x) と置くと, 題意より
f(x) = (x - α)(x² - β) + a(x² - β) + px + q
と書ける。 題意より, 剰余定理から
f(α) = a(α² - β) + pα+ q = m.
従って, α² ≠ β の時は a = -(pα + q - m)/(α² - β)なので, 求める余りは
-((pα + q - m)/(α² - β))(x² - β) + px + q.

α² ≠ β とすると, f(x) = (x² - β)Q₁(x) + px + q と書け,
これから f(α) = pα + q = m となることは分かるが, これ以上は無理ではないか。