方程式の解の置換

方程式 2010/07/23 (Fri) 08:48:06 No.16442

お願いします。
(イ) f[x] = x^3 - 3x + 1 = 0 とする。 f[x] = 0 の解を α とすると g[α] = α^2 - 2 も解であることを示せ。
(ロ) f[x] = x^3 - nx^2 - (2n+12)x – 8 とする。 f[x] = 0の解を α とすると g[α] = -4/(α + 2) も解であることを示せ。
について伺います。

(1) 上の二問とも, g[α] も解であることは容易に示すことが出来ましたが, g はどのようにして導かれるのでしょうか?

(2) f[x] = x^3 - 4x^2 - 8x + 1 のとき,
(イ) のような g を導いてください。
(ロ) のような g を導いてください。

耕司

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解答:
先ず (イ) の f(x) = x^3 - 3x + 1 の方ですが, 調べてみると三実解を持つことが分かります (+ に二つ, - に一つ)。
それから (ロ) の方ですが, 幾つかの n について調べてみると, これも三実解を持ち, 今度は - に二つ, + に一つ持つことが分かります。
一方 (2) の f(x) については (ロ) と同様の解の持ち方であることが分かります。

更に, (イ) について調べてみると
f(g(α)) = α⁶ - 6α⁴ + 9α² - 1
= (α³ - 3α + 1)(α³ - 3α - 1)
であり, 又 g(g(α)) =α⁴ - 4α² + 2 = -α² -α + 2
で, g(g(g(α))) = α であることも分かります。
(ロ) についても, g(g(α)) = -2(α + 4)/α, g(g(g(α))) = α であることが分かります。
つまり g は解の間の置換群 (の部分群) を作っているということが分かります。
つまり (2) を考えるには, f(α) = 0 の上で, g(g(g(α))) = α となるような g(x) を求めないといけないわけです。

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一般論では難しいので (2) で考えることにします。
(イ) g(x) = x^2 + ax + b とすると
f(g(x)) = a^3 x^3+3 a^2 b x^2+3 a^2 x^4-4 a^2 x^2+3 a b^2 x+6 a b x^3-8 a b x+3 a x^5-8 a x^3-8 a x+b^3+3 b^2 x^2-4 b^2+3 b x^4-8 b x^2-8 b+x^6-4 x^4-8 x^2+1
そして
f(g(x)) = (111 + 64 a + 12 a^2 + a^3 + 12 b + 6 a b + (20 + 12 a + 3 a^2 + 3 b) x + (4 + 3 a) x^2 + x^3)f(x) - 110 - 64 a - 12 a^2 - a^3 - 20 b - 6 a b - 4 b^2 + b^3 + 868 x + 492 a x + 93 a^2 x + 8 a^3 x + 93 b x + 40 a b x + 3 a b^2 x + 592 x^2 + 349 a x^2 + 68 a^2 x^2 + 4 a^3 x^2 + 64 b x^2 + 24 a b x^2 + 3 a^2 b x^2 + 3 b^2 x^2
これで余りが消えないといけないのですが, 二元三次連立方程式になってしまっています。 係数もかなり大きくて難しい。

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Re:方程式2010/07/26(Mon) 19:25:06 No.16451
(2) (ロ) について導けましたので書き込んでおきます。
私が導いた答えは,
g[α] = -((23 - √3877)α + 152)/(80α + (23 + √3877))
または
g[α] = -((23 + √3877)α + 152)/(80α + (23 - √3877))
です。
このほかにもあるかどうかは不明です。

tk

Re:方程式2010/07/27(Tue) 19:54:02 No.16452
(2) (イ) について導けましたので書き込んでおきます。
私が導いた答えは,
g[α] = (40/√3877)*α^2 + ((-1 - 343/√3877)/2)*α + (4 - 396/√3877)/2
または
g[α] = (-40/√3877)*α^2+((-1 + 343/√3877)/2)*α + (4 + 396/√3877)/2
です。
このほかにもあるかどうかは不明です。

tk Re:方程式2010/07/27(Tue) 21:36:30 No.16453

(1)
私が行った方法について述べておきます。

f[x] = x^3 + p*x^2 + q*x + r = 0 が3つの異なる実数解をもつ場合に, g[α] = -(b*α + c)/(α + a) となると仮定します。 (a ≠ b)
今, 3 つの実数解をもつとしているので, g[g[g[α]]] = α となるとすると, c = a^2 - a*b + b^2 という条件が求まります。
3 つの解が α, g[α], g[g[α]] となるので, 解と係数の関係から, p, q, r を α, a, b, c で表すことができます。
この p, q, r の 3 式と c の条件の式をうまく解くと, αを消去して a, b, c を p, q, r で表すことができ, 分数式の形の g[α] が求まります。

次に, f[x] を x + a でわって, f[x] = (x + a)*h[x] + d となったとします。 ここで h[x] は x の二次式, d は定数です。
すると f[α] = 0 より, 1/(α + a) = -h[α]/d となるので, これを g[α] = -(b*α + c)/(α + a) = -b-(c - a*b)/(α + a) に代入すれば, g[α] = -b + h[α]*(c - a*b)/d となります。
これは, α の二次式になっているので, 二次式の形の g[α] が求まりました。

以上を, 一人で計算しました。 なので間違いがあるかもしれませんし, もっといい方法があるかもしれません。

追記
a, b, c を p, q, r で表すのではなく, c, q, r を a, b, p で表すほうが簡単で, そうすると, a, b を決めて分数式の g を作ったときに f は任意に決められる定数 p をもつことになります。
(ロ) の例ではこの自由に決められる p を –n としているようです。

tk

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Maxima で, g(x) = ax^2 + bx + cx + d として, 計算させた所, 次のような解を出力しました。
[[a=-0.785407239819,b=3.048779184698403,c=5.088007736943907],
[a=0.785407239819,b=-3.048779184698403,c=-1.206226650062267],[a=0.45441275544577,b=-2.52456839309429,c=0.41031916976699],
[a=-0.45441275544577,b=2.52456839309429,c=5.145353455123114],
[a=-0.044999396790928,b=-0.064684569479966,c=0.126494517156],
[a=0.044999396790928,b=0.064684569479966,c=-1.563948497854077],[a=0.59741031123782,b=-2.319016152716593,c=0.38402054959463],[a=0.59741031123782,b=-3.319016152716593,c=-1.171652093879429],
[a=-0.59741031123782,b=3.319016152716593,c=5.05343347639485],
[a=-0.59741031123782,b=2.319016152716593,c=5.171652421652421],
[a=-0.18799695022329,b=0.72976300400123,c=0.034574442919998],
[a=-0.18799695022329,b=-0.27023699599877,c=5.472027972027972],[a=0.18799695022329,b=-0.72976300400123,c=-1.472028513869518],
[a=0.18799695022329,b=0.27023699599877,c=-1.590247206230952],
[a=-0.14299754299754,b=0.79444756029164,c=0.026298621870668],
[a=-0.14299754299754,b=-0.20555240793201,c=5.463752665245202],[a=0.14299754299754,b=0.20555240793201,c=0.091920069504778],
[a=0.14299754299754,b=-0.79444756029164,c=-1.463752665245203],
[a=-0.74040788109229,b=3.113463626492942,c=5.07973174366617],[a=0.40941336971351,b=-2.589253187613843,c=0.4185949840654],[a=0.33099450884686,b=-0.52421062114319,c=-1.498327100964377],
[a=0,b=1,c=0],[a=0.0,b=0.0,c=0.11821869987735]]
計算は基本的に f(g(x)) を f(x) で割った余りが 0 になるようにするということです。
同様に, g(x) = (px + q)/(x + r) として Maxima で計算させたら, はっきり言って止まってしまいました (^_^;
algsys: system too complicated; give up.
-- an error. To debug this try: debugmode(true);
元の (イ) でもこれだけの解があります。
[[a=0.8440295604823,b=1.293128303700144,c=-2.430286241920591],
[a=-0.29312844302696,b=0.55090124397055,c=0.19132600124507],[a=0.44909875602945,b=0.1559703795125,c=0.23896049017536],
[a=-0.8440295604823,b=-1.293128303700144,c=2.082989994114185],[a=0.29312844302696,b=-0.55090124397055,c=-1.723414877683475],
[a=-0.44909875602945,b=-0.1559703795125,c=1.640424752837788],
[a=-0.55090124397055,b=-0.8440295604823,c=0.70687155697304],[a=0.44909875602945,b=-0.8440295604823,c=-1.640424752837788],
[a=-0.29312844302696,b=-0.44909875602945,c=1.723414877683475],
[a=-1.293128303700144,b=-0.44909875602945,c=1.844029560482303],
[a=-0.1559703795125,b=0.29312844302696,c=1.449098879688261],[a=0.8440295604823,b=0.29312844302696,c=-2.082989994114185],
[a=-0.44909875602945,b=0.8440295604823,c=1.293128303700144],
[a=0.55090124397055,b=0.8440295604823,c=-2.238960441582337],[a=0.29312844302696,b=0.44909875602945,c=0.1559703795125],[a=1.293128303700144,b=0.44909875602945,c=-2.191325954370906],[a=0.1559703795125,b=-0.29312844302696,c=0.43028649386085],
[a=-0.8440295604823,b=-0.29312844302696,c=0.55090124397055],
[a=0,b=1,c=0],[a=-1,b=-1,c=2],
[a=-0.39493087557604,b=-1.137158054711246,c=0.78986175115207],
[a=1.137158054711246,b=0.74222724703222,c=-2.274316109422492],
[a=-0.74222724703222,b=0.39493087557604,c=1.484454494064443],
[a=1,b=0,c=-2],[a=0.0,b=0.0,c=-1.879385232208487],[a=0.0,b=0.0,c=0.34729635646322]]
(ロ) の方は Maxima も投げ出して, 次の error message を出してきました。
algsys: tried and failed to reduce system to a polynomial in one variable; give up.
-- an error. To debug this try: debugmode(true);
でも Maxima 一寸面白い。
上記の tk 氏の分析を見てみると, やはり g(g(g(α))) = α を条件に入れた方が良かったようだ。
計算してみた所, tk 氏の a ≠ b という条件は b ≠ -a の間違いであるようだし, g(g(g(α))) = α という条件を見た限りでは, この条件は不必要であるらしい。

1 の原始三乗根

教えてください。
投稿者: 御手洗景子 投稿日: 2010 年 5 月 20 日 (木) 01 時 10 分 27 秒
教えてください。

ω = (-1 + (i*sqrt(3)))/2 とするとき, 次式を簡単にせよ。
(1) (a + bω + cω^2)(a + bω^2 + cω)
(2) (a + b)(a + bω)(a + bω^2)
(3) (a + bω + cω^2)^3 + (a + bω^2 + cω)^3
(4) (aω^2 + bω)(bω^2 + aω)
この問題を教えてください。

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解答
こちら
にも解答がありますが, 普通に展開して ω^2 + ω + 1 = 0 又はω^2 + ω = -1, ω^2 + 1 = -ω を使うだけです。 勿論ω^3 = 1 も使います。
(3) は僕は x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2) を使いました。
(4) は最初に ω を括り出しましたが, 結果は同じでした。
多分合っているでしょう。
(1) a^2 + b^2 + c^2 - (ab + bc + ca)
(2) (a + b)(a^2 + b^2 - ab)
(3) (2a - b - c)(a^2 - 2b^2 - 2c^2 - ab + 5bc - ca) = -(-2a + b + c)(a - 2b + c)(a + b - 2c)
(4) a^2 + b^2 - ab

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(1), (2) は有名だが, (3), (4) は珍しい。

分数式

maxima
投稿者: ikuminori 投稿日: 2010 年 4 月 29 日 (木) 10 時 35 分 26 秒
数学のソフト maxima で計算したのですが，どうも納得いくように簡単になりません。どんなコマンドで，どういう答えが出るといいのか教えてもらえませんか?
①((b^2-c^3)^3+(c^2-a^2)^3+(a^2-b^2)^3)/((b-c)^3+(c-a)^3+(a-b)^3)を簡単にせよ。
②a^3/(a-b)*(a-c)+b^3/(b-c)*(b-a)+c^3/(c-a)*(c-b)を簡単にせよ。

ratsimp，expand，factorなど使ってやってみたのですが，まだまだ式が複雑で簡単とは思えないんです。
きっと，簡単な式になると思うのでよろしくお願いします。

解答:
私は maxima は使ったことがないのですが。

(1) ((b^2-c^3)^3+(c^2-a^2)^3+(a^2-b^2)^3)/((b-c)^3+(c-a)^3+(a-b)^3) を簡単にせよ。

分母は -3(a - b) (a - c) (b - c) ですが分子は因数分解出来ないようですよ。
分かった。 最初が違ってますね。 分子を
(b^2-c^2)^3+(c^2-a^2)^3+(a^2-b^2)^3
とすると
-3 (a-b) (a+b) (a-c) (a+c) (b-c) (b+c)
ですから, 自ずと分かりますね。

(2) a^3/((a-b)*(a-c))+b^3/((b-c)*(b-a))+c^3/((c-a)*(c-b))
a + b + c.
お書きになった式は括弧が足りませんよ。
というわけで, 何れも入力ミスですね。 (maxima の問題じゃありません)

こちらでも解答が得られていますね。

整式を整式で割る問題

QNo.5781437 mintD
整式を整式で割る問題
実数を係数とする整式 f(x), g(x), h(x) に対して
P(x) = {f(x)}^3 + {g(x)}^3 + {h(x)}^3 - 3f(x)g(x)h(x)
Q(x) = f(x) + g(x) + h(x) とおくとき, 次の各問に答えよ。 ただし, a は実数とする。
(1) P(x) は Q(x) で割り切れることを示せ
(2) P(x) は (x - a)^2 で割り切れるが (x - a)^3 では割り切れないものとする。 このとき, Q(x) が x - a で割り切れるならば, (x - a)^2 でも割り切れることを示せ。

(1) は
x^3 + y^3 + z^3 = (x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx) … (*)
という感じで解けたのですが, (2) の証明の仕方がわかりません。
どなたか回答お願いします。

投稿日時 - 2010-03-26 20:13:09
注: (*) は当然
x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz= (x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx)
の誤りである。

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解答:
ANo.1 alice_44
(1)ができたのなら、
P = Q・{(f - g)^2 + (g - h)^2 + (h - f)^2}/2
となることは解りますね。
Q(x) が x - a で割りきれるとき,
f(a) + g(a) + h(a) = Q(a) = 0 ですから,
上式の { } 内が x - a で割りきれる…すなわち
x = a を代入して 0 になると仮定すると、
f(a) = g(a) = h(a) = 0 となって,
f(x), g(x), h(x) はどれも x - a で割りきれることになります。
それでは, { } 内が (x - a)^2 で割りきれることになり,
P(x) が (x - a) で割りきれないことに反します。
よって,背理法により, { } 内は x - a では割りきれません。
左辺の P(x) は (x - a)^2 で割りきれるのだから,
Q(x) が (x - a)^2 で割りきれなくてはならない。

投稿日時 - 2010-03-26 23:20:42

二次式

2 次式 2010/03/04(Thu) 17:31:36 No.10427
(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)=0……①
の解をαβとするとき次の式の値を求めよ
1/{(a-α)(a-β)} + 1/{(b-α)(b-β)} +1/{(c-α)(c-β)}……②

この問題で途中まで多分あってると思うのですがそれ以上進みません

3(x-α)(x-β)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)
(x-α)(x-β)={(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)}/3
この式のxにa,b,cを代入して
・(a-α)(a-β)=(a-b)(a-c)/3
・(b-α)(b-β)=(b-c)(b-a)/3
・(c-α)(c-β)=(c-a)(c-b)/3
この3つを②に代入すれば答えが0になるはずなのですがうまくいきません
続きはどうなるのか教えてください
plt

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Re:2次式2010/03/06(Sat) 04:01:47 No.10429
3(x－α)(x－β)=(x－a)(x－b)+(x－b)(x－c)+(x－c)(x－a)
x＝aを代入して
3(a－α)(a－β)＝(a－b)(a－c)
両辺を(a－α)(a－β)(a－b)(a－c)で割って
1/(a－α)(a－β)＝3/(a－b)(a－c)
同様にして
1/(b－α)(b－β)＝3/(b－c)(b－a)
1/(c－α)(c－β)＝3/(c－a)(c－b)
よって
(与式)＝3/(a－b)(a－c)＋3/(b－c)(b－a)＋3/(c－a)(c－b)
＝－3{(b－c)＋(c－a)＋(a－b)}/(a－b)(b－c)(c－a)
＝0
七