三角函数

質問 <3762> 2009/10/22
from = 玉木 「三角関数」
Θ は -90゜< Θ < 90゜の範囲にあるとする。
|tanΘ|
★希望★完全解答★

---

この問題, どこかで見たよ。 (見つかった。 ここだ。 こっちの方が不等式が正しく ≦ ではなく < になっている。)
最初: -90° < θ < 90°だから
|tan θ| = |sin θ/cos θ| = |sin θ|/cos θ < cos θ.
次: (3<sup>x)² - 2(tan θ)3^x - 1 = 0
(3^x)² - 2(tan θ)3^x - (1/cos²θ - tan²θ) = 0
(3^x + 1/cos θ - tan θ)(3^x - 1/cos θ - tan θ) = 0
であるから,
3^x = tan θ ± 1/cos θ.
上述のように, -1/cos θ < tan θ < 1/cos θ で即ち
tan θ + 1/cos θ > 0, tan θ - 1/cos θ < 0 であるから, 3^x > 0 より
3^x = tan θ + 1/cos θ のみ適で
x = log₃(tan θ + 1/cos θ) (= log₃(sinθ + 1) - log₃cos θ).

三角方程式

質問者: LM51 三角方程式
の問題で分からないのがあります。

次の三角方程式を解け
2cos^2(x+30°) + sin(60°-x) = 0 (0°≦ x ≦ 90°)

参考書の解説によると,
θ = x + 30°とおくと,
60°- x = 90° - (x + 30°) = 90°- θ
ってなってるんですけど, ここの部分の意味がわかりません!
どなたかわかりやすく解説お願いします!
質問投稿日時: 09/10/23 16:04 質問番号: 5390360

---

いや, これ以上簡単にはならないので, そこの解説はしないけれども, 問題が一寸珍しかったので。

解答
θ = x + 30°と置くと, 60°- x = 90° - (x + 30°) = 90°- θ なので
2cos²θ + sin(90°- θ) = 0, 30°≦ θ ≦ 120°.
2cos²θ + cos θ = 0
cos θ(2cosθ + 1) = 0.
よって θ = 90°, 120°.
つまり x + 30°= 90°, 120°.
x = 60°, 90°.

指数

質問者: i-to-zi 指数の問題で置き換えがうまくいきません。
高校数学の指数の問題です。

f(x) = 2^(x) + 2^(-x) - 2^(2x - 1) - 2^(-2x + 1)
という関数について t = 2^(x) + 2^(-x) とおいたとき
f(x) を t の式で表せ

という問題です。

この後に最大値を求める問題が続きますが, それ以前に f(x) を t の式で表す段階がどうしてもうまくいきません。
正しい表記が分からず見づらいかもしれませんが,
お力添えよろしくお願いします。
質問投稿日時: 09/10/22 12:06 質問番号: 5387138

---

解答
これ, 問題間違ってるんじゃないかと思うよ。
f(x) = 2^x + 2^-x - (1/2)2^2x - 2・2^-2x.
ここで t = 2^x + 2^-x と置くと t ≧ 2 で (等号は x = 0 の時) で
t² = 2^2x + 2^-2x + 2.
(2^2x)² + (2 - t²)・2^2x + 1 = 0.
だから
2^2x = (t² - 2 ± t√(t² - 4))/2,
2^-2x = (t² - 2 - (±t√(t² - 4))/2, (複号同順).
なので代入して計算すると
f(x) = (4t - 5(t² - 2) ± 3t√(t² - 4))/4.

---

自分の考えとしては
f(x) = 2^x + 2^-x - 2^{2x + 1} - 2^{-2x + 1}
か
f(x) = 2^x + 2^-x - 2^{2x - 1} - 2^{-2x - 1}
だと思うのだが。
でもどっちか分からないので, この後は出来ない。

---

ちなみに graph を描かせてみると, こんな感じ。

有理数解

質問者: 112233445 x^2 + 4y^2 = 1 の解について
x^2 + 4y^2 = 1 をみたす共に有理数の x, y がある。 解 (x, y) は無数にあることを示せ。
　X = a/b, y = p/q とおいて, 式を変形して, その式が無数の整数解をもつことを示す方針で考えていますが, その無数に解をもつ方程式がどんな形にこの場合なるのか, 行き詰まっています。 ポイントとなるところについてアドバイス, ヒントがあればと思います。
質問投稿日時: 09/10/13 16:44 質問番号: 5364303

---

解答
これは知っていれば簡単だが, 知らないとさっぱり分からないという典型的な例であろう。
方程式 x^2 + 4y^2 = 1 は中心が原点で, 長軸の長さが 2, 短軸の長さが 1 という楕円である。
この楕円は良く知られているように parameter 表示として
x = cos t,
y = (1/2)sin t
というものがある。
そして, 一方で, 良く知られている積分の置換の方法で, u = tan(t/2) と置くとき,
cos t = (1 - u²)/(1 + u²), sin t = 2u/(1 + u²)
というのがある。
これを使うと簡単である。
つまり, これによって
x = (1 - u²)/(1 + u²), y = u/(1 + u²)
と表されることが分かる。 [勿論除外点として (-1, 0) があるが, この問題では除外点のことは問題にならない。]
そして, 直ぐ分かるように, この表示で, u が有理数ならば x, y も共に有理数。
変数 u は (変換の方法から分かるように) どのような有理数をもとることが出来る。
従って, 無限に沢山の有理数解があることが分かる。

---

この問題は, 大学一年のときに, 「円周上にある有理数点の濃度はアレフゼロであることを示せ」 という問題として解いたものとほぼ同じであるが, 質問者はこの質問もしているので, 大学生なのかな?

不等式

(No Subject) NEW / ぽんた
連続ですいません
a は正の定数, 0 < t < 1 において
(2t + a - 1)/{(t + a)(t + a - 1)} - 1/a ≧ 0
を満たす a の値の範囲ってどうしたらもとめられますか?
<br>
答え　a ≧ (√5 - 1)/2
No.8338 - 2009/10/09 (Fri) 20:27:46

---

これって答あっているのだろうか。
(2t + a - 1)/{(t + a)(t + a - 1)} - 1/a ≧ 0
⇔(2t + a - 1)/{(t + a)(t + a - 1)} ≧ 1/a.
a > 0 だから
a(2t + a - 1)(t + a)(t + a - 1) ≧ ((t + a)(t + a - 1))², t ≠ -a, 1 - a.
((t + a)(t + a - 1))² - a(2t + a - 1)(t + a)(t + a - 1) ≦ 0.
(t + a)(t + a - 1)t(t - 1) ≦ 0.
ここで, 0 < t < 1 なので t(t - 1) < 0.
従って (t + a)(t + a - 1) ≧ 0.
これを t について解くと a > 0 だから -a < t < 1 - a.
これが <span style="text-decoration:line-through">0 < t < 1 の範囲に入っていれば良いのだが, -a < 0, 1 - a < 1 なので, 1 - a < 1 であることが必要十分。 つまり a > 1 だと思うのだが。
しかも, 0
どうもそそっかしくていけない

NEW / X
>>phaosさんへ
Blogを拝見しましたが、計算間違いをされているようなのでそこの指摘だけ。
>> (t + a)(t + a - 1) ≧ 0
(これを (A) としておきます)
は問題ないと思いますが, これを導出する過程で
元の不等式の左辺の分母を除くために
a{(t + a)(t + a - 1)}^2
をかけていますので
t ≠ -a, 1 - a
という条件が必要です。
ここで a > 0 より a ≠ 0 ですので-a < 1 - a であることに注意すると
(A) より
t ≦ -a, 1 - a ≦ t
よって解は
t < -a, 1 - a < t
となります。
これと a > 0 により, 題意を満たすためには
1 - a ≦ 0
∴1 ≦ a
が求めるaの値の範囲になります。
(いずれにせよ、a≧(√5-1)/2とはなりませんが。)
No.8360 - 2009/10/11 (Sun) 16:43:47

まったくご指摘の通り。
二次不等式を解く所で間違えるなんて情けない。