逆三角函数

数学 / がんてつ
sin^(-1)x + cos^(-1)x を計算する問題なんですが, これって合成関数なんでしょうか?
また, こうゆう形の合成関数ってどうやって解けばいいのでしょうか?
ご回答お願いします。
No.9346 2009/10/08 (Thu) 14:41:09

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良く知られているように
cos(π/2 - θ) = sinθ.
従って, 今 x = cos(π/2 - θ) = sinθ と置くと
sin^-1 x = θ, cos^-1 x = π/2 - θ.
従って,
sin^-1 x + cos^-1 x = π/2.
これは別に合成函数とは関係ない。 (三角函数の合成とも関係がない)

絶対値

質問者: sushidokei 合成方程式
困っています 宜しくお願い致します。
問題の中の (5) 解いていただければ幸甚ですが
質問投稿日時: 09/10/06 13:25 質問番号: 5346029
画像が copy 出来ないので, 写すと
[5] f(x) = |(1/2)x - 2|, g(x) = 2x + 1, h(x) = |1/x| - 1, L(x) = |x| とする。
(1) y = f(g(x)) のグラフを描け。
(2) y = 2g(x) + h(x) のグラフを描け。
(3) y = 2f(x) - g(x) のグラフを描け。
(4) y = f(x) - L(x) のグラフを描け。
(ここに空行があって, 更に一行分位画像上消してある部分があった後に)
(5) 方程式 L(h(x)) = f(f(g(x))) の解の個数を求めよ (難問です)。

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答は 6 個。
(難問というよりは面倒な問題)

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ついでだから解かせてみた。
何だか複素数解はものすごいものがある。
実数解は
x = ±4, -1/2, -(1 + √33)/4, (-9 + √113)/4, (15 + √193)/4
であった。
因みに, こっちで plot させた graph の方が前掲のものよりもずっといい。

三角比の応用問題について

質問者: z1rcom 三角比の応用問題について
(sinθ - cosθ)/(sinθ + cosθ) = 2 + √3
0°< θ
両辺を平方して,
(1 - 2sinθcosθ)/(1 + 2sinθcosθ) = 12
1 - 2sinθcosθ = 12 + 24sinθcosθ
sinθcosθ = -11/26

1 + 2sinθcosθ = (sinθ + cosθ)^2 = 2/13
sinθ + cosθ = √(2/13)
1 - 2sinθcosθ = (sinθ - cosθ)^2 = 24/13
sinθ - cosθ = (2√6)/√13

(sinθ + cosθ) + (sinθ - cosθ) = 2sinθ
= √(2/13) + (2√6)/√13
= {(√2) + (2√6)}/√13
∴sinθ = {(√26) + (2√78)}/26

θ を電卓で計算すると 61.102...度になりました。
これは明らかに間違っていると思うのですが, 何がおかしいのか分からないのです。
どなたかお回答をお願いいたします。
質問投稿日時: 09/10/02 15:54質問番号: 5336130

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いやぁ, 間違いまくり。
いきなり自乗の計算から間違っているし, 開平したら ± にするっていう基本を忘れてるし。
先ずは解答の添削。
先ず (1 - 2sinθcosθ)/(1 + 2sinθcosθ) = 7 + 4√3 ですから。
それでもって 2sinθcosθ = -(√3)/2 となりますよ。
[数学 II の二倍角の公式を使ってよければ, ここで θ = 120°, 150°が出る。
で, 最初の式に代入すると θ = 120° のみ適。]
質問者の方針に従うと
(sinθ + cosθ)² = 1 + 2sinθcosθ = (2 - √3)/2 = (4 - 2√3)/4
だから sinθ + cosθ = ±((√3) - 1)/2.
同様にして sinθ - cosθ = ±((√3) + 1)/2. [複号は同順とは限らない]
質問者はここで sinθ を求めてしまっているけれど, 0°< θ < 180°では sinθ > 0 なので得策ではない。 そこで先程の式の上から下を引いて 2 で割ると
cosθ = ±1/2, 0
となるが, 2sinθcosθ = -(√3)/2 で sinθ > 0 だから cosθ = -1/2 以外はありえない。
従って 0°< θ

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とまあこれでいいのであるが, 解答がかなり迂遠である上に, 計算力を要する。 自乗の計算を間違うような人がこのような難しい解法では正解にたどり着くのは大変であろうと思う。
[又計算力があるからといって, 計算力に頼り過ぎるとここみたいな失敗を犯す元である]
そこで次の解を考えた。

[別解 ]
cosθ = 0 と仮定すると, 左辺 = 1 となって矛盾だから cosθ ≠ 0. そこで左辺の分子分母を cosθ で割ると
(tanθ - 1)/(tanθ + 1) = 2 + √3.
解けば tanθ = -√3.
0°< θ

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この [別解 ] もいいのだが, わざわざ cosθ ≠ 0 を最初に言っておかねばならないのが面倒である。
そこで考えたのが, 次の解法。

[別解 ]
(sinθ - cosθ)/(sinθ + cosθ) = 2 + √3 から
-(1 + √3)sinθ = (3 + √3)cosθ = (√3)(1 + √3)cosθ.
従って sinθ: cosθ = (√3): (-1) で, 0°< θ < 180°では sinθ > 0 であるから cosθ < 0 で
cosθ = -1/√((√3)² + 1²) = -1/2.
0°< θ

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尚, 上述の link 先での回答も基本的にはこの [別解 ] と同じである。
個人的にはこのやり方が一番好きだ。

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追記:
やり方は上手くなかったが, ちゃんと自分の解法を示しているだけこの質問者は好感が持てる。
しかも計算間違いはあったが, 一応このやり方でも出来るので, 全然間違っているというわけでもない。
これにめげずに頑張って欲しい。

凸函数

2009/9/17 21:14
投稿者: ojo
0
また, 私は和→積の公式でやってみましたが, 他に良い方法があれば教えていただけないでしょうか?

宜しくお願いします m(u_u)m
ちなみに答えは sin x + sin y < 2 sin((x + y)/2) です。
<hr>和→積の公式の公式の適用が間違っていませんか?
公式通り sin x + sin y = 2sin((x + y)/2)cos((x - y)/2) が正しいですよね。
つまり, cos の中に計算間違いがありますね。
ここを直せば, あとは変数の範囲の評価をすればほとんど終わりです。
先ず 0 < x < π の辺々に y を加えると y < x + y < π + y ですね。
ここで 0 < y < π であることによって 0 < y < x + y < 2π です。
だから 0 < (x + y)/2 < π で, このとき sin ((x + y)/2) > 0 です。

さて次に, x < y から y - x < 0 です。
0 < x から -π < -xだから y - π < y - x < 0 で 0 < y によって -π < y - x < 0. 従って -π/2 < (y - x)/2 < 0 です。
この範囲で0 < cos((x - y)/2) < 1 ですね。
従って, 1 - cos((x - y)/2) > 0 ですから,
2sin ((x + y)/2) - (sin x + sin y) = 2sin ((x + y)/2)(1 - cos((x + y)/2)) > 0
です。

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実際に graph を描いてもらうと分かるのですが, これは y = sin x (正弦函数) が, 区間 (0, π) で上に凸であるという事を表す式です。
従って, 二回微分が負であるという事を示すという方法もありますが, 多分それはこの問題の出題者の意図ではないと思われるので, この方法が一番いいと思います。

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この blog 編の comment 欄に投稿された初めての質問。
元はここの comment.

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ここでは qwe
ここでは くぇ で同じ問題が投稿されているが, 別人?

三角方程式

三角方程式/ ラン
方程式 sin x = 2cos3x は 0 ≦ x ≦ 2π のとき何個の解を持つでしょうか。
グラフを描けば 6 個であることはすぐに分かります。
この問題をグラフを使わないで式の変形だけで解くことはできるでしょうか。 できるのでしたらどのように計算していくのでしょうか。 教えてください。 お願いします。
No.9141 2009/09/12(Sat) 06:59:33

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Re: 三角方程式 / camusPlague
以下の方針で、良いと思います。

sin(x) = 2cos(3x)
を変形して,
(tan(x))^3 + 6(tan(x))^2 + tan(x) - 2 = 0

f(y) = y^3 + 6y^2 + y - 2 (= 0) は, 異なる 3 実根 (y ≠ 0) を持つ。
y ≠ 0 の場合, y = tan(x) を満足する x ∈ [0, 2π] は 2 個存在する。

No.9142 2009/09/12(Sat) 10:58:58

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まさか tan に変換するとは思わなかった。
最初, 三倍角の公式を使って, 両辺自乗して, 符号を考えて, とやろうと思ったらとんでもないことになってしまった。
それじゃぁってんで, 今度は y = 8cos³x - 6cos x - sin x としたら, 今度は, この導関数の零点を調べるところまでは良かったが, 代入したらもう計算が大変でとんでもないことになった。
せっかくだから, 分かった所まで書いておくと,
y' = -cos x(3sin2x + 1)
で, これの零点は x = π/2, 3π/2 の他に, π/2 < α

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追記 (on Sun. 13 Sept, 2009)
camusPlague 氏の hint は少し議論が足りないので, 一寸補足。
f'(y) = 3y² + 12y + 1 = 0 とする。
判別式をとると D/4 = 36 - 3 > 0 なので, これは相異なる二つの実数解を持つ。 従って, f(y) は極値を二つ持つが, 実係数の三次方程式 f(y) = 0 は必ず実根を一つは持つが, あと二つが実数である為の必要十分条件は, 極値の符号が異なることである。
そこで f'(y) = 0 の二つの解を α, β と置くと, 二次方程式の解と係数の関係により
α + β = -4,
αβ = 1/3.
f(α)f(β) = (α³ + 6α² + α - 2)(β³ + 6β² + β - 2)
となるが, これを解と係数の関係でやると大変。
そこで実際に f'(y) = 0 を実際に解くと y = (-6 ± √33)/3
f(y) = f'(y)(y/3 + 2/3) - 22y/3 - 8/3
故に f((-6 ± √33)/3) = (124 - (±√33))/3 であるが, 124² = 15376, (22√33)² = 15972 なので, 極値は異符号。
自分のやった方法よりは楽だが, そんなに簡単でもない。