絶対値記号つきの関数

絶対値記号つきの関数/ ビタミン
次の関数を, 絶対値記号を用いて一本の方程式で表せ。 ただし絶対値記号を二重にしないこと。
(1) y = 0 (x ≦ 0), y = x (0 < x)
(2) y = 0 (x ≦ 0), y = x (0 < x ≦ 1), y = 1 (1 < x)
(3) y = 0 (x ≦ 0), y = x^2 (0 < x)
(4) y = 0 (x ≦ 0), y = x^2 (0 < x ≦ 1), y = 1 (1 < x)
<br>これに手が出ず困っています。 どれかひとつでもいいので考え方を教えてください。
また, y = f(x) (x ≦ a), y = g(x) (a
No.11389 2010/03/25(Thu) 03:44:46

---

解答 ☆ Re: 絶対値記号つきの関数 / らすかる
(1) y = x のグラフと y = |x| のグラフを足したらどうなるかを考える
(2) y = |x| のグラフを上下反転して右に 1 ずらし,
　それに y = |x| のグラフを足したらどうなるかを考える
(3) (1) の答えに x を掛ける
(4) (2) の答えに x を掛けると 1 < x の部分だけ条件を満たさないので
　さらに 「y = 0 (x ≦ 1), y = x - 1 (1 < x)」 の関数を引くことを考える
<br>No.11390 2010/03/25(Thu) 09:14:32

---

実際にやってみよう。
(1) y = x + |x| は x ≦ 0 で y = x - x = 0, x > 0 で y = x + x = 2x であるから y = (x + |x|)/2 となる。
(2) y = |x| のグラフを上下反転すると y = -|x|. それを右に 1 ずらすと y = -|x - 1|. これに y = |x| の graph を足すと y = |x| - |x - 1|.
この函数は x ≦ 0 で y = -x + x -1 = -1. 0 < x ≦ 1 では y = x + x - 1= 2x - 1. x > 1 では y = x - x + 1 = 1 なので, 結局求める函数は y = (|x| - |x - 1| + 1)/2.
(3) は省略。
(4) は
y = x(|x| - |x - 1| + 1)/2 - (x + |x - 1| - 1)/2 = (x|x| - x|x - 1| + x - x - |x - 1| + 1)/2
= (x|x| - x|x - 1| - |x - 1| + 1)/2.
(これはどう纏めたら綺麗なのか良く分からない)

---

sign(x) という函数があって, これは x > 0 ならば 1, x < 0 ならば -1, x = 0 の時 0 となる函数である。 従って, (sign(x) + 1)/2 を考えれば x < 0 の時 0, x = 0 で 1/2, x > 0 の時 1 となる。
これは x ≠ 0 の時は sign(x) = |x|/x と同じであることから, (x + |x|)/(2x) と同じである。
(1) はこれを使って考えても同じになる。
これの境界を a に変えれば (x + |x - a| - a)/(2|x - a|) であり, y 軸に関し反転させれば (-x + |-x - a| - a)/(2|-x - a|) = (|x + a| - x - a)/(2|x + a|) であるから, x = a を除けば
f(x)(|x + a| - x - a)/(2|x + a|) + g(x)(x + |x - a| - a)/(2|x - a|) が x a で g(x) となる函数である。

---

Re: 絶対値記号つきの関数 ビタミン
とてもよいヒントになりました。
(2) は, (1) のグラフから 「y = 0 (x ≦ 1), y = x - 1 (1
No.11399 2010/03/26(Fri) 06:09:20

二次函数の応用

質問 <3781> 2010/3/23 from=晴見
「論述問題」
x + y = n において, xy が最大値を取るとき, x = y になることを論述せよ
先生から口頭で出された問題なので足りない所等あるかもしれませんがこれで確か全部です。
全く手が付けられないのですが……解説お願いします＞＜！

---

解答:
誰もまだ答えていないみたいなので。
先ず x + y = n より, y = n - x. だから
xy = x(n - x) = -x² + nx
= -(x - n/2)² + n²/4.
従って, xy は x = n/2 の時, 最大値 n²/4 をとる。
この時 y = n - x = n/2 だから x = y である。

奇函数の特徴付け

整式の除法
名前: ワンピース 日付: 2010/2/23 (火) 0:54
お願いします。
f(x) は 2n - 1 次の整式で, 適当な定数 a, b(ただし a ≠ 0) を用いると
f(x) + a が (x + b)^n で割り切れ, f(x) - a が (x - b)^n で割り切れる。 このとき
整関数 f(x) は奇関数であることを示せ。

---

解答
Re: 整式の除法
名前: NJK 日付: 2010/2/24 (水) 21:39
ある程度微分の知識があるものとして示します。 微分の知識を用いない解法については他の方にお願いします。
f(x) + a = (x + b)^n*g(x) … 1)
f(x) - a = (x - b)^n*h(x) … 2) とおける。
それぞれ微分する
f'(x) = n(x + b)^(n-1)*g(x) + (x + b)^n*g'(x)
f'(x) = n(x - b)^(n-1)*h(x) + (x - b)^n*h'(x)
これより f'(x) は (x + b)^(n-1), (x - b)^(n-1) で割り切れる。
また 1) - 2) より 2a = (x + b)^n*g(x) - (x-b)^n*h(x)
ここで b = 0 とすると 2a = x^n*[g(x) + h(x)] となって x = 0 としたとき a = 0 となり不適で b ≠ 0 がいえる。
したがって f'(x) は (x + b)^(n-1)*(x - b)^(n-1) で割り切れ
c を定数として f'(x) = c(x + b)^(n-1)*(x - b)^(n-1) とおける
f'(x) = c(x^2 - b^2)^(n-1)
f'(x) = f'(-x) ∵f'(x)は偶関数
f(x) = -f(-x) + d, dは定数
ここで 1), 2) より f(-b) = -a, f(b) = a なので d = 0 が分かる
∴f(x) = -f(-x)
f(x)は奇関数だとわかる

三角函数と直線の交点

QNo.5669953 Takasuke
y = x と y = cos x, y = tan x のグラフの交点

y = x と y = cos x, y = tan x のグラフの交点の求め方を考えています。
y = cos x と y = x のグラフに適当に描いてみると, どうやら 0〜π/2 の途中に交点があるように見えます。
また, tan x にいたっては多分, 無限に交点が有ると思います。 ですが, 交点にどのような関係性があるかなどが全く見えてきません。
色々とやってみましたが, 回答までもっていけません。

求め方など分かる方, よろしくお願いいたします。

投稿日時 - 2010-02-12 10:25:55
回答

---

回答:
近似数値解しか求まらないと思われる。
方程式 x = cos x の Wolfram Alfa の出力は
x ≒ 0.7390851332151606416553120877
≒ 0.23525810463384955027418398777597π.
方程式 x = tan x の方は
x ≒ 0, ±4.49340945781414, ±7.725251836937622, ...
4.49340945781414 ≒ 1.4302966530939874543338566746694π,
7.725251836937622 ≒ 2.4590240329567342708402297063568π.
規則性は見つからないよねぇ。
多分新しい高等函数でも定義しないと。

無理数

★有理数? 無理数? のんぶ
高 3 です

方程式 tan (πx) = 2 (0
No.10910 2010/02/08(Mon) 13:02:06

---

何故か同じ問題がこちら No.9715 - 2010/02/08(Mon) 13:03:50 にもある。

---

Re: 有理数? 無理数? のんぶ
自己レスですみません。
チェビシェフの多項式を用いて解決しました。
ありがとうございました。

No.9736 - 2010/02/10(Wed) 11:34:18

つまりはこういうことらしい。
簡単の為に θ = πx と置く。
1/cos²θ = 1 + tan²θ = 5
で, 0 <θ < π/2 なので cosθ = 1/√5.
cos (nθ) = ±1 となり得るか? というのをチェビシェフ多項式から調べられるということであろう。
cos について 「チェビシェフ多項式 有理数」 で検索してみると, ここが参考になる。
検索したらここにもろにこの問題の解答が書いてあった。
以下コピペ (多少編集あり)

---

本文書の目的は, 次の問題について論じることである。
問題 1
tan απ ∈ Q となる α ∈ Q をすべて挙げよ。
背景
cos απ ∈ Q となるα ∈ Q は α = n/2, n/3 (n ∈ Z) に限ることはよく知られている。 0 ≦ α ≦ 1/2 に限れば α = 0, 1/3, 1/2 のみである。 以下このことを証明する。
証明
　自然数 n に対して, n に関する帰納法により, 2cos(nθ) は2cosθ のmonic (最高次係数が1 ということ) な n 次整数係数多項式で表されることが分かる。 その多項式を f_n と表すことにする。
α = q/p (p ∈ N, q ∈ Z) としたとき,
f_p(2 cos(qπ/p)) = 2cos qπ = 2(−1)^q.
よって, 2cos(q/p)π は方程式f_p(x) - 2(-1)^q = 0 の有理解であるが, 一般に monic 整数係数多項式の有理数根は整数に限るので,
2cos(qπ/p)) ∈ Z.
よって cos(q/p)π = 0, ±1/2, ±1 となるから, 結論が従う。
sin απ ∈ Q となる α ∈ Q に関しては, sin x = cos(π/2 - x) を用いれば cos の場合に帰着され, 0 ≦ α ≦ 1/2 に限ればα = 0, 1/6, 1/2 のみである。
問題1 は，このことをtan で考えようというものである。
考察
cos のときに現れた多項式 f_n は Chebyshev 多項式のようなもの (Chebyshev 多項式とは cos (n arccos x), つまり T_n(cos θ) = cos nθ を満たす多項式 T_n のことである。) であるが, 同じことを tan についても考えてみる。
tan 2θ = 2tanθ/(1 - tan(2θ)), tan(3θ) = (3tan θ - tan(3θ))/(1 - 3tan(2θ)),
tan(4θ) = (4tanθ - 4tan(3θ))/(1 - 6tan(2θ) + tan(4θ)), tan(5θ) = (5tan θ - 10tan(3θ) + tan(5θ))/(1 - 10tan(2θ) + 5tan(4θ))
などから, 各自然数 n に対して多項式 f_n, g_n が存在して
tan(nθ) = tanθ • f_n(tanθ)/g_n(tanθ)
と表されることが予想される。 実際, n に関する帰納法によりその存在が示され, 同時に f_n, g_n に関する連立漸化式
f_n+1(x) = f_n(x) + g_n(x),
g_n+1(x) = -x²f_n(x) + g_n(x)
が示される。
またこの連立漸化式から,
f_n(x) = _nC₁ - _nC₃x² + _nC₅x⁴ - …
g_n(x) = _nC₀ - _nC₂ x² + _nC₄x⁴ - …
が示される。
h_n(x) = xf_n(x)/g_n(x) とおくと, h_n は整数係数多項式を分母, 分子にもつ有理式なので, 有理数を代入した値は (定義されれば) 有理数である。 また, h_n(tanθ) = tan(nθ) が成り立つ。
問題1 に戻る。
α ∈ Z なら tan(απ) = 0 ∈ Q である。 ￢(α ∈ Z) ならα を既約分数 t/s (s ∈ N, s ≧ 2, t ∈ Z) で表し, tan(απ) = tan(t/s)π ∈ Q と仮定する。
まず, s が奇素数を因数にもたないとき, つまり s = 2n (n ∈ N) と表せるときを考える。 このときt は奇数で, n = 1 なら tan(t/s)π が定義されず, n = 2 なら tan(t/s)π = ±1 となる。 n ≧ 3 のときは
h_2^n-3(tan (πt/2ⁿ)) = tan(πt/8)
を考えると, 左辺はh_2^n-3 に有理数を代入したものなので有理数であり, 右辺は ￢(±tan(1/8)π, ±tan(3/8)π = ±(1 ± √2) ∈ Q) なので, 不合理。
次に, s が奇素数を因数にもつときを考える。 s の奇素数の因数を p とし, s = ps' とおく。 このとき t はp の倍数ではない。
h_s'(tan(πt/s)) = tan(πt/p)
を考えると, 先程と同様左辺は有理数である。 従って, tan(t/p)π の形の有理数が存在するかを考えればよい。
0 = tan tπ = h_p(tan(πt/p)) = tan(πt/p)・f_p(tan(πt/p))/g_p(tan(πt/p))
であり, t が p の倍数でないことから tan(t/p)π ≠ 0 なので,
f_p(tan(πt/p)) = 0.
つまり, tan(t/p)π は f_p(x) = 0 の解である。
p は奇数だから
f_p(x) = _pC₁ - _pC₃x² + _pC₅x⁴ - … + (−1)^(p-1)/2_pC_px^p-1
であり, f_p は最高次係数が 1 か -1, 定数項が素数 p だから, f_p(x) = 0 の有理解は存在すれば p の約数, つまりx = ±1, ±p に限る。
しかし, f_p(±1) ≡ (-1)^(p-1)/2 (mod p) であり, また f_p(±p) ≡ p (mod p²) であるので, f_p(x) = 0 はx = ±1, ±p を解にもたない。 従って, f_p(x) = 0 は有理解をもたない。
従って, tan(t/p)π の形の有理数は存在しない。 つまり, s が奇素数を因数にもつときは tan(t/s)π ∈ Q となることはない。
以上から, tan απ ∈ Q となる α ∈ Q は整数と (2k + 1)/4 (k ∈ Z) に限ることが示された。

---

以下我疑う故に存在する我 氏のご指摘による。

---

ここにもっと拡張した問題についても解答が載っていた。

---

「整数論の問題を出し合うスレ」 より
p = 2n + 1 を奇素数とする。
(x - tan²(π/p))(x - tan²(2π/p))(x - tan²(3π/p)) ……(x - tan²(πn/p))
は, x の整係数多項式であり, 最高次の係数以外の係数は p の倍数であり, 定数項は p² で割り切れない

証明:
de Moivre の公式から,
sin(pθ) = ∑_k=0ⁿ (-1)^k_pC_2k+1cos ^p-1-2kθsin^2k+1θ
= cos^pθ∑_k=0^n-1(-1)^k_pC_2k+1tan^2k+1θ,

cos(pθ) = ∑_L=0ⁿ(-1)^L_pC_2Lcos ^p-2Lθsin^2L
= cos^pθ∑_L=0ⁿ(-1)^L_pC_2Ltan^2Lθ,
よって
tan(pθ) = sin(pθ)/cos(pθ)
= (tanθ)(∑_k=0ⁿ(-1)^n-k_pC_2k+1(tan²θ)^k)/(∑_L=0ⁿ(-1)^n-L)_pC_2L(tan²θ)^L)
= (tanθ)F(tan²θ)/G(tan²θ),

ところで
θ = ±kπ/p, k = 1, 2, …, n
ならば,
tan(pθ)=0, tanθ≠0,
∴F(tan²θ) = ∑_k=0^n-1(-1)^n-k_pC_2k+1(tan²θ)^k = 0,
ここに
F(x) = ∑_k=0ⁿ(-1)^n-k_pC_2k+1x^k,
は n 次の多項式で, 最高次の係数 (1) 以外の係数は p の倍数であり, 定数項 (k=0) は (-1)ⁿ_pC₁ = (-1)ⁿ･p.

---

更なる別法

こんなふうに証明できそうです / 元吉
背理法を用いて x が無理数であることを証明します。
θ を tanθ = 2 (0 < θ < π/2) をみたす実数とします。 x が有理数だとすると, x = m/n (m, n は互いに素な自然数) と表せるので,
θ = (m/n)π, 両辺を n 倍すると nθ = mπ (m, n は互いに素な自然数) … (1)

いま 1 行目が 1 -2
2 行目が 2 1 である行列の表す一次変換を f, 座標平面上の点 (1, 0) を点 P₀ とし,
f による点 P₀ の像を点 P₁,
f による点 P₁ の像を点 P₂,
f による点 P₂ の像を点 P₃,
…...
とすると, 始線 OP₀ から測った動径 OP_n の一般角は nθ になります。
(1) が成立するならば, m が偶数のときには点 P_n は x 軸上の原点より右側にあり, m が奇数のときは点 P_n は x 軸上の原点より左側にあることになります。 ところが線分 OP_n の長さは (√5)ⁿで, これが OP_n の x 座標の絶対値と一致すること, および OP₁, OP₂, OP₃, ... の座標は全て整数であることから n は偶数だとわかりますので, m は奇数でなければなりません。 そこで, 点 P_n は必ず x 軸上の原点より左側にあります。 k = n/2 とおくと, 点 P_k は y 軸上にあります。 すると今度は点 P_k の y 座標の絶対値が線分 OP_k の長さになることから k が偶数であることがわかり, t = k/2 とおくと, 点 P_t は, 直線 y = x 上または直線 y = -x 上の点で, 座標が整数であることより,
線分 OP_t の長さは √2 の自然数倍になりますが, これは線分 OP_t の長さが (√5)^t であることと矛盾します。

No.10967 2010/02/13 (Sat) 01:38:50