三角関数

三角関数 投稿者: みー 投稿日: 2010 年 8 月 22 日 (日) 13 時 24 分 28 秒

[275] x, y を実数とする時,
(1) 等式 sin²x + sin²y + sin²(x + y) = 2 - 2cos x cos y cos(x + y) が成り立つことを示せ。
(2) x > 0, y > 0, x + y < π とする。 sin²x + sin²y + sin²(x + y) > 2 である時, 不等式 x + y > π/2 が成り立つことを示せ。

---

解答:
(1) 左辺 = 1 - cos²x + 1 - cos²y + (sin x cos y + cos x sin y)²
= 2 - cos²x - cos²y + sin²x cos²y + 2sin x cos x sin y cos y + cos²x sin²y
= 2 - cos²x(1 - sin²y) - cos²y(1 - sin²x) + 2sin x cos x sin y cos y
= 2 - 2cos²x cos²y + 2sin x cos x sin y cos y
= 2 - 2cos x cos y(cos x cos y - sin x sin y) = 右辺。

(2) (1) より
sin²x + sin²y + sin²(x + y) = 2 - 2cos x cos y cos(x + y) > 2
故に cos x cos y cos(x + y) < 0 …… (a)
x + y ≦ π/2 と仮定すると 0 < x ≦ π/2, 0 < y ≦ π/2 となり
cos x ≧ 0, cos y ≧ 0, cos(x + y) ≧ 0
となるので, (a) と矛盾する。
故に x + y > π/2.

---

sin(π - θ) = sinθ であることから, これは (2) を満たしている時に, x, y, x + y を三つの内角として持つ三角形が鈍角三角形であるということを示している。

対数

質問 <3800> 2010/8/12 from = マル

log₅(x) + log₅(y) = log₂₅(25x² + 10xy + y²) を満たす x, y の組を二組挙げよ, という問題の解き方がわかりません。教えてください。

---

解答:
対数法則と底の変換公式を用いて
log₅(xy) = (1/2)log₅(25x² + 10xy + y²)
2log₅(xy) = log₅(25x² + 10xy + y²)
log₅(xy)² = log₅(25x² + 10xy + y²)
(xy)² = 25x² + 10xy + y²
(25 - y²)x² + 10xy + y² = 0.
ここで y = ±5 の時は, ±50x + 25 = 0 だから x = -(±1/2).
真数条件から x > 0, y > 0, 5x + y ≠ 0 だから不適。
従って, 解の公式を用いて
x = (-5y ± y²)/(25 - y²).
真数条件と併せて考えて, 適当な値を代入してみれば良い。

---

「自然数 (x, y) の組を二組求めよ」 とすると, 途中まで同じで
(xy)² = (5x + y)²
(xy + 5x + y)(xy - 5x - y) = 0.
i) xy + 5x + y = 0 の場合
xy + 5x + y + 5 = 5
(x + 1)(y + 5) = 5
条件をみたす (x,y) はない
ii) xy - 5x - y = 0 の場合
xy - 5x - y + 5 = 5
(x - 1)(y - 5) = 5
(x - 1, y - 5) = (1, 5), (5, 1)
(x, y) = (2, 10), (6, 6).
(by下野哲史)

基本周期

三角関数 / 野菜
f(x) = f(x + c) が成立する最小の正の数 c を, f(x) の基本周期という。
f(x) = sin(sin x) の基本周期が 2π であることを示せ。

これなのですが, sin(sin(x + 2π)) = sin(sin x) は簡単に示せるのですが, それが最小になるというのはどうやって示せばよいでしょうか。 よろしくご教示ください。

No.12374 2010/07/20(Tue) 14:51:11

---

解答 (by らすかる):
0 < x < π のとき sin(sin x) > 0
π
No.12375 2010/07/20(Tue) 15:16:43

三角函数

微分積分 投稿者: はじめ 投稿日: 2010 年 6 月 2 日 (水) 10 時 10 分 53 秒

英文なのですが, どなたか解答方法を詳しく教えてくださいませんか? 問題は 3 問です。 the inverse trig functions を計算機を使って答えを出さないでください。
1) Evaluate the expression by sketching a triangle
#Enter answer as an exact value (i.e, a fraction... AND, all fractions must be reduced).:
tan(1/2 sin^(-1)96/265)
2) Evaluate the following (assume initial angels are in Quadrant-I)
#(Answer should be exact and all fractions should be reduced.)
cos(2tan^(-1) (47/18))
3) Find the exact value of the expression:
sin^(-1)(sin(-240868/45 pi))

---

解答:
これは只単に三角函数の問題だと思うのだが...。
問題文の訳:
1) 三角形を描いてみることによって次式の値を求めよ
#答は完全な形で書け。 (つまり, 分数で, しかも既約分数で)
2) 計算せよ (最初の角は第一象限にあると仮定せよ)
#(答は完全にしかもすべての分数は既約で)
3) 次式の完全な値を求めよ。

---

1) θ = sin^(-1) 96/265 と置く。
半角の公式から
tan(θ/2) = √((1 - cosθ)/(1 + cosθ)).
一方 cosθ = √(1 - sin^2θ) = 13・19/265 = 247/265.
従って tan(θ/2) = √((265 - 247)/(265 + 247)) = √(18/512) = √(9/256) = 3/16.
2) θ = tan^(-1) (47/18) と置く。
1 + tan^2θ = 1/cos^2θ より cos^2θ = 1/(1 + tan^2 θ).
従って二倍角の公式より
cos2θ = 2cos^2θ - 1 = 2/(1 + tan^2 θ) - 1 = 2・18^2/(18^2 + 47^2)
= (18^2 - 47^2)/(18^2 + 47^2) = -65・29/2533 = -1885/2533.
3) 240868/45 = 5352 + 28/45 だから 与式 = -28π/45.

---

やたら multi-post
http://6504.teacup.com/aozoram/bbs/1964
http://8426.teacup.com/9030math/bbs/724
http://www2.rocketbbs.com/11/bbs.cgi?id=yosshy&mode=pickup&no=10496#10496
http://www3.rocketbbs.com/603/bbs.cgi?id=aoki&mode=pickup&no=11992#11992
2010/06/02(Wed) 10:21:54 No.16302
他にもあるかもしれない。

---

1), 3) は一寸変えたら高校の定期テストの問題に出来るかも。
2) は値がでか過ぎるので, 値を変えないと駄目だな。

四次函数について

QNo.5832310 nyankosens
にゃんこ先生の予想、4 次関数のグラフのある性質

にゃんこ先生といいます。

4 次の係数が正の 4 次関数が極値を 3 個持つとき, 画像 (省略) のようになりますが, 極大値をとる x の値から極小値をとる x の値が離れるほど, 極小値は小さくなり, さらの極小値付近のグラフの形状は鋭くなるように思いました。 数学的に書くと次のようになります。

4 次関数 y = f(x) があり, y’(x) = f’(x) = (x - α)(x - β)(x - γ) (但し, α < β < γ) とします。
このとき, β - α > γ – β であれば, f(α)
さらに, 「f(x) を x = α でテーラー展開したときの 2 次の係数」>「f(x) を x = γ でテーラー展開したときの 2 次の係数」 となるだろうと予想します。
また, 一般に, n 次関数のグラフが n - 1 個の異なる極値を持つときにも, 同様な性質を持つのでしょうか?
しばらく考えたのですが, 計算が複雑になりすぎて, 結論が出ません。
反例もしくは証明を教えていただけないでしょうか?
投稿日時 - 2010-04-17 16:16:07

---

ANo.2 nag0720
最初の予想だけ。

f'(x) = (x - α)(x - β)(x - γ)
からf(x) = {3x^4 - 4(α + β + γ)x^3 + 6(αβ + βγ + γα)x^2 - 12αβγx + Ｃ}/12

f(γ) - f(α) を計算すると,
f(γ) - f(α) = (γ - α)^3(2β – γ - α)/12 > 0

投稿日時 - 2010-04-17 19:02:30

---

ANo.1 f272
f'(x) = (x - α)(x - β)(x - γ)
から
f''(x) = (x - β)(x - γ) + (x - α)(x - γ) + (x - α)(x - β)
となって
f(x) を x = α でテーラー展開したときの 2 次の係数
f''(α)/2 = (α - β)(α - γ)/2 = (β - α)(γ - α)/2
f(x) を x = γ でテーラー展開したときの 2 次の係数
f''(γ)/2 = (γ - α)(γ - β)/2
ですから
「f(x) を x = α でテーラー展開したときの 2 次の係数」 > 「f(x) を x = γ でテーラー展開したときの 2 次の係数」
ですね。
投稿日時 - 2010-04-17 18:04:51