Smooth だが実解析的ではない函数

Smooth (C^∞) だが実解析的 (C^ω) ではない函数の存在

次の性質 (i)-(iii) を満たす滑らかな函数 ψ: R→R が存在する。

(i) 任意の実数 t に対し 0 ≦ ψ(t) ≦ 1.
(ii) 任意の実数 t ≦ 0 に対し ψ(t) = 0.
(iii) 任意の実数 t ≧ 1 に対し ψ(t) = 1.

証明:
f(t) = 0, t ≦ 0,
f(t) = e^-1/t, t ≧ 0
と定義する。 これが滑らか (smooth) であることを示せば
ψ(t) = f(t)/(f(t) + f(1 - t))
は smooth で且つ性質 (i)-(iii) を満たす。

函数 f(t) が滑らかであることを示すには, 自然数 (ここでは 0 を含む) n に対し
lim_t→+0f⁽ⁿ⁾(t)/t = 0
を示せば良い。
帰納的に x の多項式 p_n(x) を
p₀(x) = 1,
p_n(x) = -x²(p_n-1(x) + p'_n-1(x))
で定義すると, t > 0 に対し
f⁽ⁿ⁾(t) = p_n(1/t)e^-1/t
となる。 e^x の Taylor 展開を用いて k ≧ 0 なる時
lim_t→+0((1/t)^ke^-1/t) = lim_x→∞ x^k/e^x = 0
であることが直ぐ分るので, f(t) 従って ψ(t) は滑らかである。

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この函数 (ψ も f も) は smooth だが実解析的ではない。
f の方で示す。
f の x = 0 に於ける Taylor 展開を考えると, f⁽ⁿ⁾(+0) = 0 なので, f(t) = 0 となる。
ところが, x = 0 のどのような近傍をとっても t > 0 なる限り f(t) > 0 であるから, この Taylor 級数の収束半径は 0 である。 つまり, f は実解析的ではあり得ない。
尚, この函数 ψ(t) を用いて滑らかな多様体の上で 1 の分解 (1 の分割) を作ることが出来る。
これは (実) 解析多様体では実現出来ない。

三角函数の式

QNo.6447756 ei10
英知もとめます！！
数式遊びをしていたら、
cos20°= (cos100°)^3 *cos80°+ (sin100°)^3 *sin80°

という、加法定理にとてもよく似た式がでてきました。
また、

sin20°= 2｛(sin100°)^3 *cos80°- (cos100°)^3 *sin80°｝

も出てきました。

これだけだと、一般性に欠けるので、こういう式を作ってみました。

cos（α-β）=(cosα)^3　*cosβ+(sinα)^3　*sinβ
sin（α+β）=2｛(sinα)^3　*cosβ-(cosα)^3　*sinβ｝

この2式は常に成り立つわけではないようです。
あるα、βがある決まった関係にあるときに成り立つようです。
cosとsinの式で両方とも同じ関係式とは限らないようです。

私もそれを考えたんですが、どうしても自信がもてません。
分かる人是非教えてください。

あ、これが有名な式なら教えてくださいｗ

余裕があれば、
sin（α+β）=2｛(sinα)^3　*cosβ-(cosα)^3　*sinβ｝を
sin（α+β）=(sinα)^3　*cosβ-(cosα)^3　*sinβとして
考えてみてください。

投稿日時 - 2011-01-14 19:14:18

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解答:
ANo.2 bibendumbibendum
面倒なので計算を行っていませんが
回転の一次変換の行列を使って
１００度を３回、８０度を１回、回転させる行列を計算してみてください。
たぶん最初の式がでてきます。
３８０度回転は２０度回転と同じなので
あなたの考えた式がでてくるはずです。

cos20°=(cos100°)^3　*cos80°+(sin100°)^3　*sin80°を一般化すると

cosγ=(cosα^3　*cosβ°+(sinα)^3*sinβ
γ=mod（3α＋β,360）

投稿日時 - 2011-01-14 22:01:29

複素函数

複素函数の問題
bonobono
a > 1 とする。 方程式 4z²e^{a - 2z} = 1 は
開円板 |z|
z = x + iy (x, y は実数) と置いて与えられた方程式に代入すると,
4(x² + 2xyi - y²)e^{a – 2x - 2iy} = 1
⇔ 4e^{a - 2x}((x² - y²) + 2xyi)(cos2y - i sin2y) = 1.
簡略化の為 P = x² - y², Q = 2xy と置くと
与えられた方程式は
4 e^{a - 2x}(P + Qi)(cos2y - i sin2y) = 1
⇔ 4 e^{a - 2x}((P cos 2y + Q sin2y) + i(Q cos2y - P sin2y)) ＝1.
a と x は実数なので e^{a - 2x} > 0 と右辺は実数なので複素数の相等より P, Q を元に戻して
2xy cos2y - (x² + y²)sin2y = 0
が条件となってきます。
おそらく自分の予想では y = 0 のときしか成立しないと思うのですが, それを示すことが出来ません。
どなたかここから分かる方教えてください。お願いします。
2010-12-25 23:11:15

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解答:
furrina
これは偏角の原理を利用して解くという趣旨の問題ではないかと思います。
方程式を 4z² = e^{2z - a} と書き直すと
|4z²| > |e^{2z - a}| (|z| = 1/2)
が言えるのでルーシェの定理が利用出来ます。
あと後半の, 2 個の解がすべて実数解となることは y = 4x² のグラフと y = e^{2x - a} を描けばわかります。
2010-12-27 20:06:21
rascal
|y| ^{a - 2x} ((x² - y²)cos 2y + 2xy sin 2y) = 1 … (1)
2xy cos 2y - (x² - y²)sin 2y = 0 … (2)
(2)から
x² - y² = (2xy cos 2y)/sin 2y.
(1)に代入して整理すると
8x e^{a - 2x} = (sin 2y)/y.
右辺は正だから x は正。 … (3)
(2)を x について解くと
x = y/tan y, - y tan y … (4)
これは増減を調べることにより
y/tan y > 1/2, -y tan y < 0. … (5)
(3), (4), (5) から
|y| < 1/2, y ≠ 0 のとき
|x| < 1/2 の範囲に解がないことがわかります。
よって解があれば実数解のみです。
2010-12-27 23:44:29

Tower の定義域

QNo.6171751 eauSak
y=x^(x^(x^(x^(x^(x^…))))) の定義域は
[e^(-e), e^(1/e)] と書かれていた本を昔読んだことがあります。
(うろ覚えですが)

最大値が e^(1/e) であることは容易に示すことができたのですが,
最小値が e^(-e) であることはどうやって示せばよいのでしょうか。

ご存じの方がおられましたらご教授いただきたく, よろしくお願いいたします。

投稿日時 - 2010-09-10 10:41:26

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ANo.2 info22_
y = x^(x^(x^(x^(x^(x^…^(x^x)…))))) ≡ x^^x (0 < x) (x は無限に並ぶ) …(A)
この関数で注意しなければならないことは
---------------------------------------------------------------
y = x^(x^(x^(x^(x^(x^…^(x^x)…)))))) (0 < x) (x は n 個並ぶ) …(B)
x → 0 の時 y → 0 or 1 となること
で
0^0^…^(0^0)=1 (0 が偶数個並ぶとき)
0^0^…^(0^0)=0 (0 が奇数個並ぶとき)
から0 < x << 1 のとき
(B) は多価関数となると推察される。
しかも x の数の偶数, 奇数で関数が分かれる。
---------------------------------------------------------------
従って (A) を考えるとき, 偶数個の x を固まりにして考えないと上の性質を表現できない。
なので (A) 式の右辺を y で置換する場合
y = x^(x^y) (0 < x ≦e^(1/e)) …(C)
とすることで (B) 式の x の数の偶数, 奇数の場合の性質を含ませることが出来る。
この (C) の関数は 0 ≦ x ≦ e^(-e) で多価関数になるので, この変域を除けば定義域は次のようになる。
e^(-e) ≦ x ≦ e^(1/e)
この定義域で y の値域は
1/e ≦ y ≦ e
となります。
<br>(C) のグラフを添付しておきます。

(切れている所が (1/e^e, 1/e)) 右端は本当は (e^(1/e), e).)

定義域の最小値はグラフからもわかりますが, (C) の関数式が多価関数にならない下限値
(y = 1/e の時の x) として求めることが出来ます。

投稿日時 - 2010-09-11 05:26:32

二次関数について

二次関数について Rainbow
初めて質問させていただきます。

二次不等式 x² - (a+3)x + 3a < 0 を満たす整数 x がちょうど二個だけあるように, 定数 a の値の範囲を求めよ。

↑この問題が分かりません。
解き方と解答をどなたかお願いいたします。

2010-08-27 09:00:51

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解答:
(x - a)(x - 3) < 0 なので
a ≦ 3 の時 a < x < 3,
a > 3 の時 3 3 の時は x = 4, 5 だから 5 < a ≦ 6.