不等式

(No Subject) / snc
ついさっき質問したばっかなんですがすいません
宿題が終わ・・っと本題にいきますと

a^4 + b^4 + c^4 ≧ abc(a + b + c)を証明する問題です
左辺 - 右辺 ≧ 0 でやりたいのですがうまくいきません
自分の持ってる模範解答がきにくわないのでできればこのオーソドックスな解法でお願いします

あとここってマルチポストはよかったんでしたっけ?
だめなら削除しますが・・・

No.12841 2010/08/30(Mon) 18:34:46

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解答:
Re: NEW / らすかる
a^4 + b^4 + c^4 - abc(a + b + c)
= {(a^2 - b^2)^2 + (b^2 - c^2)^2 + (c^2 - a^2)^2 + a^2(b - c)^2 + b^2(c - a)^2 + c^2(a - b)^2}/2
≧0
となります。

No.12848 2010/08/30(Mon) 20:37:23

領域

質問 <3799> 2010/8/12 from = 悟
「領域」

x² + 3y ≧ 12, x² + y² - 6x - 6y + 8 ≦ 0 の時
x² + y² の最大・最小がわかりません。 教えてください。

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解答:
Maxima で draw(gr2d(ellipse(3,3,sqrt(10),sqrt(10),0,360),explicit(-x^2/3+4,x,-4,4))); とでもやって graph を描かせてみると分かるように, 領域は放物線の上側, 円の内側になっている。
この円は (0, 4) を通っていて, z = x² + y² と置くと, ここでは z = 16. (因みにもう一つの交点の x 座標は (sqrt(730)+27)^(1/3)-1/(sqrt(730)+27)^(1/3) となるらしいが, 明らかにこの点は (0, 4) より遠い)
放物線に接する時, x² = 12 - 3y として代入すると,
y² - 3y + 12 - z = 0.
(y に関し) 判別式を採って, D = 9 - 4(12 - z) = 4z - 39 = 0 より z = 39/4 (= 9.75 ² + y² - 6x - 6y + 8 = 0 に z = x² + y² を代入すると -6x - 6y + 8 + z = 0. 即ち y = (-6x + 8 + z)/6. これを z = x² + y² に代入して, (x に関し) 判別式を採り, D/4 = -36(z² - 56z + 64) = 0. 解くと z = 278 ± 6√2145 28 ± 12√5. 明らかに複号が - の方は, 原点に近い方で接しているので, + の方。
従って, 39/4 ≦ z ≦ 278 + 6√2145 28 ± 12√5. (因みに 2145 = 3・5・11・13 なので, これ以上簡単にはならない)

[今回は大分 Maxima のお世話になった]
[Tue 17th Aug, 2010 に訂正]


画像を 2010/8/19 に投稿。
画像の説明:
青の線:
円: x^2 + y^2 - 6x - 6y + 8 = 0.
放物線: x^2 + 3y = 12.

赤い線:
内側: x^2 + y^2 = 39/4.
外側: x^2 + y^2 = 28 + 12√5.

緑の破線(参考):
x^2 + y^2 = 28 - 12√5.

不等式

■40816 不等式
□投稿者/ 賀子 一般人(1回)-(2010/02/08(Mon) 01:08:27)

すべての正の実数 x, y ,z に対して,
√x + √y + √z ≦ k√(7x + 5y + 3z) が成り立つような実数 k の最小値を求めよ。
どなたかご教授願いたいです。

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■40818 Re[2]: 不等式
□投稿者/ だるまにおん ファミリー(152回)-(2010/02/08(Mon) 03:11:11)

Cauchy-Schwarz の不等式より
√x + √y + √z ≦ √(71/105)√(7x + 5y + 3z)
がすべての x, y ,z にたいしてなりたちます。もとの不等式に
x = 1/49, y = 1/25, z = 1/9
を代入すると
√(1/49) + √(1/25) + √(1/9) ≦ k√(7/49 + 5/25 + 3/9)
√(71/105) ≦ k
したがって k の最小値は √(71/105) です。

最大値

QNo.5642972 english777
≪問題≫ a + b + c = 3 を満たす 3 つの正の数 a, b, c に対して, F = (3 - a)(3 - b)(3 - c) とおく。 このとき, a, b, c が条件を満たしながら動く時の F の最大値を求めよ。

≪自分の考え≫
展開してみても, 特に何も見えず…
文字を消したとしても, 1 つまで…

どうしたいいのかわかりません＾＾；

投稿日時 - 2010-02-02 11:34:23

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解答
ANo.3 by mister_moonlight
変形に気が付けば, 一発で終わり。

3 - a = b + c, 3 - b = c + a, 3 - c = a + b であるから,
F = (b + c)(c + a)(a + b).
a > 0, b > 0, c > 0 より, 相加平均・相乗平均から,
(b + c) + (c + a) + (a + b) ≧ 3・³√((b + c)(c + a)(a + b))
a + b + c = 3 から, 6 ≧3・³√((b + c)(c + a)(a + b)).
3 乗すると, F ≦ 8.
そして, 等号成立は?

文字が全て正の時は, 相加平均・相乗平均が使えないか, を疑ってみると良い。

投稿日時 - 2010-02-02 11:56:24

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補足:
等号成立は b + c = c + a = a + b であるから, a = b = c.
a + b + c = 3 なので, 結局 a = b = c = 1.
尚, mister_moonlight 氏の解答は全角半角混在で大変見難かったので, 半角に統一した。