どもども。
今回は前回の続きで,今年の東北大入試理系数学第3問をやっていきます![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/kaeru_en4.gif)
問題はこちら![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/hearts_pink.gif)
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/26/3d/ec7740b4e2a2a24b9f89f362aa2598a6.jpg)
前回:http://blog.goo.ne.jp/mathnegi/e/c13fe45fc9902b87c3a81f77616d743f
(2)からやっていきますよ~![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/buta.gif)
1~3の数字が書かれた3枚のカードが袋A,Bにそれぞれ入っていて
この2つの袋から1枚ずつカードを取り出すわけですね![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/eto_ushi.gif)
そんで,取り出したのが同じ数字のカードだったらそれを除いて,違う数字だったらまた袋に戻す,と。
n回目の操作で初めて同じ数字のカードを引く確率がp_nです。
n回目の操作で全てのカードを引き出し終える確率がq_nです。
これらを求めなさい,という問題です![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/dog_happy.gif)
まずはp_nについて考えていきましょう~![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/rabi_smile.gif)
n回目で初めて同じ数字のカードを引く,ということは
n-1回目までの操作ではずーーっと異なる数字のカードを引いていた,ということになります![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/dokuro.gif)
1回の操作で2つの袋から異なる数字のカードを引き出す確率は,
Aの袋から引いた数字に対してBが残り2つの数字のカードのどちらかを引く
事象を考えて2/3になります![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/teng.gif)
あるいはA,Bから引いた数字a,bの組が(a,b)が全部で3×3=9通り,
そのうち(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)の6通りがあるので2/3としてもOK![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/kojika.gif)
同様に1回の操作で(初めて)同じ数字のカードを引き当てる確率は1/3です。
確率2/3で違う数字のカードを引く操作をn-1回繰り返した後,n回目で確率1/3で同じ数字のカードを引くことを考えてp_nを求めます。
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/3f/a0/dcb92b9442efc1098673629ece75b31e.jpg)
今度は順列を使ってp_nを求めてみます。
k回目の操作でA,Bから引いたカードの数字をa_k,b_kとおいて
(a_1,a_2,…,a_n,b_1,b_2,…,b_n)の組を考えます![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/m_0232.gif)
その総数は3^k×3^k通りです。
そのうちa_k≠b_k (1≦k≦n-1)を満たすものは,(a_k,b_k)をセットで考えて
各kにつき6通りあり,また(a_n,b_n)は3通りなので,
全部で6^(n-1)×3通りあります![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/eto_tori.gif)
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/36/c9/971bb6c9a9c481a59dd0080c77c33cc8.jpg)
次は,確率漸化式を使ってみます![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/m_0245.gif)
1回目の操作で同じ数字を引くか引かないかで状況を分けたとき,
もし同じ数字のカードを引いたなら,そこで終了
もし違う数字のカードを引いたなら,2回目の操作を基点としてn回目に初めて同じ数字のカードを引く確率はp_{n-1}です。
これによって漸化式が立てられます![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/m_0100.gif)
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/2c/b7/e3108cfae20b8c690ed86b9c368713b0.jpg)
次はq_nについて考えます![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/dog_shy.gif)
p_nと同じ解法順に解いてみます。まずは純粋に確率計算。
そもそもとして,1回目,2回目の操作を終えた時点では全てのカードを引き終えることはできません![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/eto_i.gif)
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/06/d6/503e50c016c7e55290c9b16e81499aaf.jpg)
n≧3の場合について考えましょう。
k回目の操作で初めて同じカードを引くと仮定しましょう。すると,k回目までの確率はp_kで与えられますね![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/hamster_2.gif)
その後,k+1回目からn-2回目までは残り2枚ずつ入った袋からそれぞれ別の数字のカードを引き続けます。
n-1回目で2度目の数字一致が起きて,そうすると自動的にn回目で最後の数字一致が起き,終了です![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/fine_face.gif)
これによって「k回目の操作で初めて同じカードを引く」かつ「n回の操作で終了」の確率が求められます。
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/3f/ae/7d7415a8383f84a3f9ab7eaf7c484919.jpg)
kが1からn-2の場合まで全て考えて確率を足し合わせれば答えが得られます![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/star.gif)
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/34/16/7820bef473edbec225f42255bb061311.jpg)
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/31/a6/07b56b76d280aab5853f3fdfd56bb837.jpg)
次は場合の数を求めるパターンです![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/rabi_shy.gif)
さっきと同様に(a_1,a_2,…,a_n,b_1,b_2,…,b_n)の組を考えますが,
その総数は安易に3^k×3^k通りとしてはいけません![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/baikin_1.gif)
k回目の操作で初めて同じ数字のカードを引くとすると,k+1回目以降はn-1回目まで,
A,Bから出すカードは各2通りになります。
そこで,「k回目の操作で初めて同じ数字のカードを引く」かつ「n回の操作で終了」の確率を求める方針でいきます![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/ladybug.gif)
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/5c/2a/2a9a6b996dae158f614d3717d863f264.jpg)
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/46/9b/fd10c433852c1039464b09b6560ed2ea.jpg)
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/40/46/f7a1f158ace90b910a397df91a534c91.jpg)
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/1d/b1/77df7df20225249df21cd7ac2eb3a374.jpg)
最後は漸化式を使ってみましょう![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/body_stretch.gif)
発想はp_nのときと同じ。1回目の操作で同じ数字のカードを引くか引かないかで分別します。
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/15/b9/e9d132470bebfd5d33b2f650aa73b1b8.jpg)
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/0c/9c/c2426bcb5b14638adb0dba5a74a47ba5.jpg)
今回は前回の続きで,今年の東北大入試理系数学第3問をやっていきます
![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/kaeru_en4.gif)
問題はこちら
![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/hearts_pink.gif)
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/26/3d/ec7740b4e2a2a24b9f89f362aa2598a6.jpg)
前回:http://blog.goo.ne.jp/mathnegi/e/c13fe45fc9902b87c3a81f77616d743f
(2)からやっていきますよ~
![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/buta.gif)
1~3の数字が書かれた3枚のカードが袋A,Bにそれぞれ入っていて
この2つの袋から1枚ずつカードを取り出すわけですね
![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/eto_ushi.gif)
そんで,取り出したのが同じ数字のカードだったらそれを除いて,違う数字だったらまた袋に戻す,と。
n回目の操作で初めて同じ数字のカードを引く確率がp_nです。
n回目の操作で全てのカードを引き出し終える確率がq_nです。
これらを求めなさい,という問題です
![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/dog_happy.gif)
まずはp_nについて考えていきましょう~
![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/rabi_smile.gif)
n回目で初めて同じ数字のカードを引く,ということは
n-1回目までの操作ではずーーっと異なる数字のカードを引いていた,ということになります
![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/dokuro.gif)
1回の操作で2つの袋から異なる数字のカードを引き出す確率は,
Aの袋から引いた数字に対してBが残り2つの数字のカードのどちらかを引く
事象を考えて2/3になります
![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/teng.gif)
あるいはA,Bから引いた数字a,bの組が(a,b)が全部で3×3=9通り,
そのうち(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)の6通りがあるので2/3としてもOK
![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/kojika.gif)
同様に1回の操作で(初めて)同じ数字のカードを引き当てる確率は1/3です。
確率2/3で違う数字のカードを引く操作をn-1回繰り返した後,n回目で確率1/3で同じ数字のカードを引くことを考えてp_nを求めます。
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/3f/a0/dcb92b9442efc1098673629ece75b31e.jpg)
今度は順列を使ってp_nを求めてみます。
k回目の操作でA,Bから引いたカードの数字をa_k,b_kとおいて
(a_1,a_2,…,a_n,b_1,b_2,…,b_n)の組を考えます
![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/m_0232.gif)
その総数は3^k×3^k通りです。
そのうちa_k≠b_k (1≦k≦n-1)を満たすものは,(a_k,b_k)をセットで考えて
各kにつき6通りあり,また(a_n,b_n)は3通りなので,
全部で6^(n-1)×3通りあります
![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/eto_tori.gif)
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/36/c9/971bb6c9a9c481a59dd0080c77c33cc8.jpg)
次は,確率漸化式を使ってみます
![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/m_0245.gif)
1回目の操作で同じ数字を引くか引かないかで状況を分けたとき,
もし同じ数字のカードを引いたなら,そこで終了
もし違う数字のカードを引いたなら,2回目の操作を基点としてn回目に初めて同じ数字のカードを引く確率はp_{n-1}です。
これによって漸化式が立てられます
![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/m_0100.gif)
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/2c/b7/e3108cfae20b8c690ed86b9c368713b0.jpg)
次はq_nについて考えます
![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/dog_shy.gif)
p_nと同じ解法順に解いてみます。まずは純粋に確率計算。
そもそもとして,1回目,2回目の操作を終えた時点では全てのカードを引き終えることはできません
![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/eto_i.gif)
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/06/d6/503e50c016c7e55290c9b16e81499aaf.jpg)
n≧3の場合について考えましょう。
k回目の操作で初めて同じカードを引くと仮定しましょう。すると,k回目までの確率はp_kで与えられますね
![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/hamster_2.gif)
その後,k+1回目からn-2回目までは残り2枚ずつ入った袋からそれぞれ別の数字のカードを引き続けます。
n-1回目で2度目の数字一致が起きて,そうすると自動的にn回目で最後の数字一致が起き,終了です
![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/fine_face.gif)
これによって「k回目の操作で初めて同じカードを引く」かつ「n回の操作で終了」の確率が求められます。
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/3f/ae/7d7415a8383f84a3f9ab7eaf7c484919.jpg)
kが1からn-2の場合まで全て考えて確率を足し合わせれば答えが得られます
![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/star.gif)
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/34/16/7820bef473edbec225f42255bb061311.jpg)
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/31/a6/07b56b76d280aab5853f3fdfd56bb837.jpg)
次は場合の数を求めるパターンです
![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/rabi_shy.gif)
さっきと同様に(a_1,a_2,…,a_n,b_1,b_2,…,b_n)の組を考えますが,
その総数は安易に3^k×3^k通りとしてはいけません
![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/baikin_1.gif)
k回目の操作で初めて同じ数字のカードを引くとすると,k+1回目以降はn-1回目まで,
A,Bから出すカードは各2通りになります。
そこで,「k回目の操作で初めて同じ数字のカードを引く」かつ「n回の操作で終了」の確率を求める方針でいきます
![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/ladybug.gif)
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/5c/2a/2a9a6b996dae158f614d3717d863f264.jpg)
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/46/9b/fd10c433852c1039464b09b6560ed2ea.jpg)
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/40/46/f7a1f158ace90b910a397df91a534c91.jpg)
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/1d/b1/77df7df20225249df21cd7ac2eb3a374.jpg)
最後は漸化式を使ってみましょう
![](https://blogimg.goo.ne.jp/img_emoji/body_stretch.gif)
発想はp_nのときと同じ。1回目の操作で同じ数字のカードを引くか引かないかで分別します。
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/15/b9/e9d132470bebfd5d33b2f650aa73b1b8.jpg)
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/0c/9c/c2426bcb5b14638adb0dba5a74a47ba5.jpg)
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/27/a9/58622a68616146a74c5c50efcd47c0a3.jpg)