どもども。
今回は前回の続きで，今年の東北大入試理系数学第３問をやっていきます
問題はこちら
前回：http://blog.goo.ne.jp/mathnegi/e/c13fe45fc9902b87c3a81f77616d743f
（２）からやっていきますよ～
１～３の数字が書かれた３枚のカードが袋Ａ，Ｂにそれぞれ入っていて
この２つの袋から１枚ずつカードを取り出すわけですね
そんで，取り出したのが同じ数字のカードだったらそれを除いて，違う数字だったらまた袋に戻す，と。
n回目の操作で初めて同じ数字のカードを引く確率がp_nです。
n回目の操作で全てのカードを引き出し終える確率がq_nです。
これらを求めなさい，という問題です
まずはp_nについて考えていきましょう～
n回目で初めて同じ数字のカードを引く，ということは
n-1回目までの操作ではずーーっと異なる数字のカードを引いていた，ということになります
１回の操作で２つの袋から異なる数字のカードを引き出す確率は，
Ａの袋から引いた数字に対してＢが残り２つの数字のカードのどちらかを引く
事象を考えて2/3になります
あるいはＡ，Ｂから引いた数字a，bの組が(a,b)が全部で３×３＝９通り，
そのうち(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,3)，(3,1)，(3,2)の６通りがあるので2/3としてもＯＫ
同様に１回の操作で（初めて）同じ数字のカードを引き当てる確率は1/3です。
確率2/3で違う数字のカードを引く操作をn-1回繰り返した後，n回目で確率1/3で同じ数字のカードを引くことを考えてp_nを求めます。
今度は順列を使ってp_nを求めてみます。
ｋ回目の操作でＡ，Ｂから引いたカードの数字をa_k，b_kとおいて
(a_1，a_2，…，a_n，b_1，b_2，…，b_n)の組を考えます
その総数は３^k×３^k通りです。
そのうちa_k≠b_k (1≦k≦n-1)を満たすものは，(a_k,b_k)をセットで考えて
各ｋにつき６通りあり，また(a_n,b_n)は３通りなので，
全部で６^(n-1)×３通りあります
次は，確率漸化式を使ってみます
１回目の操作で同じ数字を引くか引かないかで状況を分けたとき，
もし同じ数字のカードを引いたなら，そこで終了
もし違う数字のカードを引いたなら，２回目の操作を基点としてn回目に初めて同じ数字のカードを引く確率はp_{n-1}です。
これによって漸化式が立てられます
次はq_nについて考えます
p_nと同じ解法順に解いてみます。まずは純粋に確率計算。
そもそもとして，１回目，２回目の操作を終えた時点では全てのカードを引き終えることはできません
n≧3の場合について考えましょう。
ｋ回目の操作で初めて同じカードを引くと仮定しましょう。すると，ｋ回目までの確率はp_kで与えられますね
その後，k+1回目からn-2回目までは残り2枚ずつ入った袋からそれぞれ別の数字のカードを引き続けます。
n-1回目で2度目の数字一致が起きて，そうすると自動的にn回目で最後の数字一致が起き，終了です
これによって「ｋ回目の操作で初めて同じカードを引く」かつ「n回の操作で終了」の確率が求められます。
ｋが１からn-2の場合まで全て考えて確率を足し合わせれば答えが得られます
次は場合の数を求めるパターンです
さっきと同様に(a_1，a_2，…，a_n，b_1，b_2，…，b_n)の組を考えますが，
その総数は安易に３^k×３^k通りとしてはいけません
ｋ回目の操作で初めて同じ数字のカードを引くとすると，ｋ＋１回目以降はn-1回目まで，
Ａ，Ｂから出すカードは各2通りになります。
そこで，「ｋ回目の操作で初めて同じ数字のカードを引く」かつ「n回の操作で終了」の確率を求める方針でいきます
最後は漸化式を使ってみましょう
発想はp_nのときと同じ。1回目の操作で同じ数字のカードを引くか引かないかで分別します。
今回は前回の続きで，今年の東北大入試理系数学第３問をやっていきます
問題はこちら
前回：http://blog.goo.ne.jp/mathnegi/e/c13fe45fc9902b87c3a81f77616d743f
（２）からやっていきますよ～
１～３の数字が書かれた３枚のカードが袋Ａ，Ｂにそれぞれ入っていて
この２つの袋から１枚ずつカードを取り出すわけですね
そんで，取り出したのが同じ数字のカードだったらそれを除いて，違う数字だったらまた袋に戻す，と。
n回目の操作で初めて同じ数字のカードを引く確率がp_nです。
n回目の操作で全てのカードを引き出し終える確率がq_nです。
これらを求めなさい，という問題です
まずはp_nについて考えていきましょう～
n回目で初めて同じ数字のカードを引く，ということは
n-1回目までの操作ではずーーっと異なる数字のカードを引いていた，ということになります
１回の操作で２つの袋から異なる数字のカードを引き出す確率は，
Ａの袋から引いた数字に対してＢが残り２つの数字のカードのどちらかを引く
事象を考えて2/3になります
あるいはＡ，Ｂから引いた数字a，bの組が(a,b)が全部で３×３＝９通り，
そのうち(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,3)，(3,1)，(3,2)の６通りがあるので2/3としてもＯＫ
同様に１回の操作で（初めて）同じ数字のカードを引き当てる確率は1/3です。
確率2/3で違う数字のカードを引く操作をn-1回繰り返した後，n回目で確率1/3で同じ数字のカードを引くことを考えてp_nを求めます。
今度は順列を使ってp_nを求めてみます。
ｋ回目の操作でＡ，Ｂから引いたカードの数字をa_k，b_kとおいて
(a_1，a_2，…，a_n，b_1，b_2，…，b_n)の組を考えます
その総数は３^k×３^k通りです。
そのうちa_k≠b_k (1≦k≦n-1)を満たすものは，(a_k,b_k)をセットで考えて
各ｋにつき６通りあり，また(a_n,b_n)は３通りなので，
全部で６^(n-1)×３通りあります
次は，確率漸化式を使ってみます
１回目の操作で同じ数字を引くか引かないかで状況を分けたとき，
もし同じ数字のカードを引いたなら，そこで終了
もし違う数字のカードを引いたなら，２回目の操作を基点としてn回目に初めて同じ数字のカードを引く確率はp_{n-1}です。
これによって漸化式が立てられます
次はq_nについて考えます
p_nと同じ解法順に解いてみます。まずは純粋に確率計算。
そもそもとして，１回目，２回目の操作を終えた時点では全てのカードを引き終えることはできません
n≧3の場合について考えましょう。
ｋ回目の操作で初めて同じカードを引くと仮定しましょう。すると，ｋ回目までの確率はp_kで与えられますね
その後，k+1回目からn-2回目までは残り2枚ずつ入った袋からそれぞれ別の数字のカードを引き続けます。
n-1回目で2度目の数字一致が起きて，そうすると自動的にn回目で最後の数字一致が起き，終了です
これによって「ｋ回目の操作で初めて同じカードを引く」かつ「n回の操作で終了」の確率が求められます。
ｋが１からn-2の場合まで全て考えて確率を足し合わせれば答えが得られます
次は場合の数を求めるパターンです
さっきと同様に(a_1，a_2，…，a_n，b_1，b_2，…，b_n)の組を考えますが，
その総数は安易に３^k×３^k通りとしてはいけません
ｋ回目の操作で初めて同じ数字のカードを引くとすると，ｋ＋１回目以降はn-1回目まで，
Ａ，Ｂから出すカードは各2通りになります。
そこで，「ｋ回目の操作で初めて同じ数字のカードを引く」かつ「n回の操作で終了」の確率を求める方針でいきます
最後は漸化式を使ってみましょう
発想はp_nのときと同じ。1回目の操作で同じ数字のカードを引くか引かないかで分別します。