とね日記

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三体問題 天才たちを悩ませた400年の未解決問題:浅田秀樹

2021年04月03日 17時45分37秒 | 物理学、数学
三体問題 天才たちを悩ませた400年の未解決問題:浅田秀樹」(Kindle版

内容紹介:
宇宙に浮かぶ3つの天体――「3体」 ニュートンの万有引力の法則によって「2体」の運動が明らかにされた17世紀初頭。科学者達は「3体」の運動を解明しようとさまざま試みでアプローチした。
オイラー、ラグランジュ、ポアンカレ……科学史にその名を残す天才数学者・天文学者たちをもってしても、この「3体の運動」の「一般解」を見つけることはできなかった!?
なぜ解けないのか? 「解ける」とはなにか?

「三体問題」をめぐる400年にわたる解明へのアプローチを通して、人類が辿り着いたものとは?「オイラーの直線解」、「ラグランジュの正三角形解」など、不思議な軌道を取る「特殊解」の存在。万有引力の法則からアインシュタインの一般相対性理論、アインシュタイン方程式、そして重力波へ。さらに一般解への研究は「カオス理論」へと発展し、コンピュータによる数値解析手法も進化させた。
天文学では、星の位置を知るための「位置天文学」や軌道計算などさまざまな分野へとつながり、実際、20世紀の初頭には、ラグランジュの見つけた特殊解を太陽系にあてはめたときに、その解の位置から「トロヤ群」という小惑星群も発見されている!

「三体問題」をめぐる400年の歴史の背景にある奥深い科学世界を、数学史・科学史ととも語り尽くす、2021年、最高にスリリングな科学書!
2021年3月18日刊行、328ページ。

著者について:
浅田 秀樹(あさだ ひでき)
1968年、京都府生まれ 。弘前大学大学院理工学研究科教授。博士(理学)。京都大学理学部卒業、大阪大学大学院理学研究科博士後期課程修了。京都大学基礎物理学研究所ポスドク研究員,弘前大学理工学部助手,准教授を経て現職。2003年、パリ天体物理学研究所にて主に重力波に関する在外研究(1年間)。
専門分野は、一般相対性理論、重力理論、理論宇宙物理学。
著書に「Equations of Motion in General Relativity(一般相対性理論における運動方程式)」(2011年刊行、オックスフォード大学出版局、共著)などがある。

インタビュー
宇宙の謎に挑み続ける弘前大学
研究成果はノーベル賞級?!
理工学部 数物科学科(物質宇宙物理学コース) 教授 浅田 秀樹(あさだ ひでき)
https://www.hiromaga.com/20180628-2288/

「三体問題」はなぜ難しいのか? 一体問題、二体問題との本質的な違いとは
https://gendai.ismedia.jp/articles/-/81272


理数系書籍のレビュー記事は本書で455冊目。

そろそろ物理学や数学の専門書に取り組みたいと思っていたのだが、この本だけは先に読んでおきたかった。読んで大正解である。天文学や物理学をほとんど知らない初心者から専門家まで、興味深く読める科学教養書。特長を箇条書すると次のようになる。

- 3つの天体どうしが引力を及ぼしながら運動する、いわゆる「三体問題」を扱う日本語の本はごくわずかで貴重な本であること。

- ニュートン力学、万有引力の法則にしたがう三体問題だけでなく、一般相対性理論にしたがう三体問題を扱う日本語の本は、この本しかないこと。

- 三体問題は数学理論としての意義があるだけでなく、重力波が観測され連星ブラックホールや連星中性子星の存在が確認されたいま、現実の問題になり一般相対性理論を適用する最先端の研究や今後の観測計画が解説されていること。

- 1次方程式を学ぶ中学生程度の読者から読める本であること。途中で難しくなり、わからなくなっても最後まで読み通せるように書かれていること。

- 方程式がなぜ解けるか、解けないかを言葉を尽くして詳しく説明していること。


三体問題を扱った科学教養書は「天体力学のパイオニアたち: F.ディアク、R.ホームズ」が有名である。(上巻の紹介記事下巻の紹介記事)三体問題の発見から1960年代までの古い研究までについては、今回紹介する本よりもこの本のほうがずっと詳しい。ただし、ニュートン力学、万有引力の法則にしたがう研究までしか書かれていない。

高校までの理科で学ぶように、引力を及ぼし合う天体が2つまでだと軌道は2次曲線(円、楕円、放物線、双曲線)という単純な形になる。惑星の軌道も楕円であり、ケプラーの法則に従っていることはご存知だろう。

しかし、天体の数が3つになったとたん、軌道は3次元空間内の極めて複雑な曲線になり、その方程式は一般的な条件では解けなくなる。これを三体問題と呼び、一般解は数学的に解けないことが証明されている。三体問題は「力学系」と呼ばれている数学の一分野である。

三体問題が求積可能であるかという可積分性(つまり三体問題を解くためにたてた微分方程式を積分を使って解けるかどうか)についての否定的な結果は、フランスの数学者アンリ・ポアンカレによって導かれた。1889年にスウェーデン兼ノルウェー国王オスカー2世の還暦を祝うために開催されたコンテストで、ポアンカレはいくつかの仮定を置いた制限三体問題を考察し、運動を定める第一積分がある種の摂動級数では表現できないことを示した(ポアンカレの定理)。

さらに、ポアンカレはこの研究の中で安定多様体、不安定多様体が交差するために生じるホモクリニック軌道と呼ばれる極めて複雑な運動の挙動の概念に到達した。三体問題を端緒とする積分可能性やカオス現象の研究は、現代的な力学系理論の発展の契機となっている。(参考記事:「ポアンカレによるカオスの発見と先見性」)

三体問題(3D): YouTubeで再生


一般的には数学的に解けないのだが、ポアンカレ以前にオイラーやラグランジュは条件を制限すれば、解ける場合があることを発見し、それぞれオイラーの直線解、ラグランジュの正三角形解を導いていた。これらはいわゆる特殊解である。もちろん実際にこのような天体があるかどうかとは関係なく、数学の研究としての発見である。

オイラーの直線解: YouTubeで再生


ラグランジュの正三角形解: YouTubeで再生


そして1990年代には三体が単一の閉曲線上を運動する解(例えば8の字を描く「8の字解」)の存在が証明され、注目を集めた。この曲線は8の字形のレムニスケート曲線のように初等関数であらわされる曲線ではないことが証明されていることも興味深い。

8の字解:YouTubeで再生


その後、コンピュータによる数値計算、シミュレーションを援用して、次々と複雑な周期解が見つかっている。最初の1つ(カオス軌道)を除き、これらはみな軌道が閉曲線の周期解であること、平面上の曲線に制限されている(制限三体問題である)ことに注意していただきたい。

三体問題の周期解:YouTubeで再生


ここまでは、ニュートン力学、万有引力の法則にしたがった三体問題である。そして実際にこのような天体があるかどうかとは関係なく、純粋に数学的な研究だった。

けれども現実は違う。ニュートン力学を修正する形で提唱されたアインシュタインの一般相対性理論をベースに天体の運動を研究すべきなのだ。とはいっても、これを手で計算するのは不可能で、コンピュータの数値計算に頼らなくてはならない。

一般相対性理論を使うことを前提とすると、二体問題さえ天体の軌道を求めることができない。それは水星の近日点移動の量をアインシュタインが計算したことでわかる。この計算は水星の軌道がニュートン力学やケプラーの法則であらわされる楕円軌道ではないことを意味している。

二体問題や三体問題を一般相対性理論に基づいて解くにはどのようにすればよいのか?一般相対性理論を適用しても、オイラーの直線解やラグランジュの正三角形解、8の字解は成り立つのだろうか。このような課題がでてくるのである。これら最新の研究の成果と今後の見通しを本書は紹介、解説している。

その要はEIH方程式(Einstein–Infeld–Hoffmann equations)と呼ばれるポスト・ニュートン近似を使って計算をすることだ。

論文はここに: 一般相対論の方程式で弘大が快挙
https://blog.goo.ne.jp/ktonegaw/e/89d89ebc0097bb78a3af6d4e93a35c7a

一般相対論的三体問題の三角解(弘前大学理工学研究科、山田慧生)
http://www.astro-wakate.org/ss2012/web/proceeding/proceedings/proceeding/gravity_35a.pdf


ところで2015年に2つのブラックホールが合体して生じる重力波が観測されたことにより、事態は一変した。(参考記事:「重力波の直接観測に成功!」)

つまり、この実験を契機に連星ブラックホールや連星中性子星が合体する現象の存在が実証されたからである。ブラックホールや中性子星の周りの重力場はきわめて強いため、ニュートン力学(万有引力)ではだめで、一般相対性理論(アインシュタインの重力場の方程式)を適用する二体問題となる。この研究はもはや数学の世界だけの問題ではなくなってしまったのだ。

そして2014年には、PSR JO337+1715という3つの中性子星からなる連星が発見された。三体問題は現実のものとなったわけである。

Triple-Star System Can Give Clues to True Nature of Gravity
http://www.sci-news.com/astronomy/science-triple-star-nature-gravity-01664.html

The millisecond pulsar triple system PSR J0337+17: YouTubeで再生


銀河系の中心には太陽質量の400万倍の質量をもつブラックホールがあることもわかった。2020年のノーベル物理学賞は、この発見に対して授賞されている。(参考記事:「2020年 ノーベル物理学賞はペンローズ博士、ゲンツェル博士、ゲーズ博士に決定!

銀河系の中心には質量が集中し、三体問題だけでなく四体、五体、...多体問題を一般相対性理論に基づいて解かなくてはならない天体現象が見つかるはずなのだ。三体問題、特に一般相対論的三体問題は、もはや机上の理論としての意味を超えた天文学、物理学となっているのである。

本書の章立ては次のとおりだ。(詳細の目次は、この記事のいちばん下に掲載した。)

1章 解ける方程式
2章 解けない方程式
3章 ケプラーの法則とニュートンの万有引力
4章 三つの天体に対する解を探して
5章 一般解とはなにか
6章 つわものどもが夢のあと
7章 三つの天体に対する新しい解が見つかる
8章 一般相対性理論の登場
9章 一般相対性理論の効果をいれた三つの天体のユニークな軌道
10章 天体の軌道を精密に測る

章タイトルでわかるように、第1章と第2章は「方程式」とはどういうものかを説明している。それも何と1次方程式の説明からなのだ。そこまでレベルを下げなくてもよいだろうにと思ったが、もし中学生が興味をもってこの本を手にしたら、この2章の説明はありがたいと思うことだろう。第3章も高校物理程度の内容だが、初心者にもわかるように難易度を下げている。

理系大学生レベルの人は、第6章「つわものどもが夢のあと」あたりから面白くなってくると思う。三体問題の歴史から始まり、コンピュータの数値計算を援用して得られた、さまざまな周期解を解説しているからだ。

そして本書の存在意義を実感できるのが第8章の「一般相対性理論の登場」からである。どのような内容なのかは、あえて紹介しないでおこう。ぜひ本書を読んでいただきたい。

著者は、一般向けの科学教養書を書くのはこれが初めてだそうだ。とても読みやすい本に仕上がっているし、改善したほうがよいと思うことも特に見つからなかった。

以下は、著者のインタビュー記事だが、浅田先生のご研究や成果、研究室のことがよくわかる。

宇宙の謎に挑み続ける弘前大学
研究成果はノーベル賞級?!
理工学部 数物科学科(物質宇宙物理学コース) 教授 浅田 秀樹(あさだ ひでき)
https://www.hiromaga.com/20180628-2288/


関連SF小説:

ところで「三体問題」をテーマに取り上げたSF小説が昨年話題になった。現在IIまでが日本語に翻訳されていてIIIの日本語版は5月25日に刊行予定。とても評判がよい小説だ。原書は中国語だが、英語版はIIIまで翻訳されている。(英語版のKindle版を検索

この小説の舞台は、3つの太陽が互いに引き合って三体運動する三連星系に属する惑星で、この星に生命が誕生し進化と滅亡を繰り返すというストーリーだ。系外惑星はすでに発見されているし、三連星も存在している。確率的には低いとはいえ、このSFが現実のものとなる日が来ないとは言い切れないのである。

『三体』の難しさ、魅力を徹底解説!それでも読んだら面白い!【ネタバレ注意】https://honcierge.jp/articles/shelf_story/8718

『三体』あらすじと感想【圧倒的なスケールで描くファーストコンタクト中華SF】
https://reajoy.net/book-report/novel/sf/32854/

三体:劉 慈欣」(Kindle版


三体 II 黒暗森林 上:劉 慈欣」(Kindle版
三体 II 黒暗森林 下:劉 慈欣」(Kindle版
 

三体 III 死神永生 上:劉 慈欣」(Kindle版
三体 III 死神永生 下:劉 慈欣」(Kindle版
 


関連記事:

ポアンカレによるカオスの発見と先見性
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天体力学のパイオニアたち 上: F.ディアク、R.ホームズ
https://blog.goo.ne.jp/ktonegaw/e/5c51d50e2141c8ae58c9323ad49b65a1

天体力学のパイオニアたち 下: F.ディアク、R.ホームズ
https://blog.goo.ne.jp/ktonegaw/e/88846fbb12ed1f8b11a49f0659b93c75

ポアンカレ 常微分方程式 -天体力学の新しい方法-
https://blog.goo.ne.jp/ktonegaw/e/8dc81ef7e48c812b56befcc2345d59d4

カオス的世界像―非定形の理論から複雑系の科学へ: イアン・スチュアート
https://blog.goo.ne.jp/ktonegaw/e/4ace135356ba99a1cb549bbbf073a591

Hirsch・Smale・Devaney 力学系入門 ―微分方程式からカオスまで― 第3版
https://blog.goo.ne.jp/ktonegaw/e/98d451af90b7efc63aacbe4efdb330fa

力学系カオス: 松葉育雄
https://blog.goo.ne.jp/ktonegaw/e/12392ac282d10deed28914d8182c2286


 

 


三体問題 天才たちを悩ませた400年の未解決問題:浅田秀樹」(Kindle版


まえがき

1章 解ける方程式
- 方程式とはなにか
- 1次方程式
- 図形として1次方程式を眺める
- 1次方程式の解の個数
- 2次方程式
- 2次方程式に対する厳密な解
- 2次方程式の近似的な解
- 逐次解のココロ
- 2次方程式に対する解の個数

2章 解けない方程式
- 3次方程式と4次方程式も解けた
- 5次方程式は解けない!
- 5次方程式の秘密
- 5次方程式の解が見つかる

3章 ケプラーの法則とニュートンの万有引力
- 彷徨う星
- 国外追放された天文学者
- 彷徨う星は規則的に動いていた
- 天空の法則を地上の科学で解き明かす
- ニュートン力学
- 万有引力の法則
- 万有引力の法則で観測事実を説明できる
- ベルトランの定理
コラム 観測的「二体問題」

4章 三つの天体に対する解を探して
- 一体問題と二体問題
- 三体問題 -- 何に対する方程式なのか
- 「解く」とは何ぞや
- もつれ合う方程式 -- 三体問題の続き
- オイラーの直線解 -- 5次方程式が再登場
- ラグランジュの正三角形
- ラグランジュ点
- 仮想的な数式が現実になる! -- トロヤ群の発見

5章 一般解とはなにか
- 方程式を解くための礼儀作法
- 一定速度で移動する物体と微分方程式
- 微分方程式を解く作法
- 積分の登場
- 積分を用いて微分方程式を解く
- 可積分とは その1 -- はじめに
- 可積分とは その2 -- 別の座標系を用いる
- 可積分とは その3 -- 運動の定数を用いた簡単クッキング♪
- 可積分とは その4 -- スパイスが決め手
- 可積分とは その5 -- 2種類目のスパイス:角運動量
- 可積分とは その6 -- 求積法とその限界

6章 つわものどもが夢のあと
- 「三体問題」の一般解への挑戦
- ハミルトンの力学理論
- 「三体問題」とリウヴィルの定理
- 求積法の作戦の頓挫
- ポアンカレの登場
- カオスの発見
- 人類 v.s. AI

7章 三つの天体に対する新しい解が見つかる
- 特殊な解
- 8の字解
- その他の面白い解
- 四体問題の解

8章 一般相対性理論の登場
- 一般相対性理論の誕生前夜
- アインシュタインの一般相対性理論登場
- ニュートン v.s. アインシュタイン
- 逆2乗帝国の崩壊 -- 水星の近日点異常
- 新しい運動方程式および逆2乗則に対する補正
- 二体問題さえ解けない!?
- 重力波の存在

9章 一般相対性理論の効果をいれた三つの天体のユニークな軌道
- 一般相対性理論における「三体問題」
- EIH方程式に対する「三体問題」を解く
- 8の字解は生き残れるか
- 8の字軌道の天体からの重力波
- 非常に強力な重力場での三連星は見つかるのか
- PSR JO337+1715

10章 天体の軌道を精密に測る
- 天体の軌道を観測する
- 位置天文学
- 恒星の位置を精密に測るハイテク天文衛星
- 銀河中心の巨大ブラックホール
- 太陽系以外の多重惑星を持つ恒星たち

あとがき

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4 コメント

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注文しました。 (T_NAKA)
2021-04-03 21:10:28
この本を買おうか買うまいか迷っていましたが、この記事を拝見してアマゾンカートに入れてしまいました。とねさんの記事は有意義な情報が適切な表現で記載されているので、大変有難く思っております。
かつてカオスとかフラクタルが流行った時代に、この三体問題もカオスになるということだけは知ってましたが、詳しい事情は分かっておりませんでしたので、早速読んでみたいと思います。
Re: 注文しました。 (とね)
2021-04-03 22:40:01
T_NAKAさん

僕はセールスマンとしてもやっていけるかもしれませんね。本書でいちばん面白かったのは、ブログ記事では省略した、一般相対論的三体問題をどのように解くかを解説した箇所です。第9章「一般相対性理論の効果をいれた三つの天体のユニークな軌道」のことです。

この数年のうちに発売されたブルーバックス本の中では、ヒット作だと思いました。
EIH (hirota)
2021-05-19 17:05:58
EIH計量と言えば海上保安庁・水路部から毎年出版されてた天体位置表(今は廃刊)の末尾にあったアルゴリズム説明にありましたねー。
この計量を使って惑星全部の軌道を計算して天体位置表として予報し、船舶やアマチュア天文学者に提供してたわけです。
僕自身はシュバルツシルト解と比較して「合わない!」と驚き、よくよく見たらシュバルツシルト解の座標が等方的でない事に気づいて等方化変換を求めたり、本の式で符号が消えてる所があったので自力でEIH計量を求めたりと勉強のネタになる良い教科書でした。
Re: EIH (とね)
2021-05-22 12:54:20
hirotaさん

このところずっと忙しく、趣味の時間がほとんどとれません。コメント公開が遅くなり失礼しました。

EIH計量は、実生活、実用上でも使われているのですね。船舶やアマチュア天文学レベルであっても、一般相対論のわずかな修正量が必要になることに驚きました。(カーナビの精度が要求されるGPSに使われていることだけ知っていました。)

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