甲陽２７

「　１、２、３、４、５ の異なる５つの数字を並べた５けたの数を考えます。

（１）数は全部で何個できますか。
（２）１が３より左にあり、３が５より左にある数は全部で何個ありますか。
（３）「１４５３２」や「２５４３１」のように、途中まで数字が増えていき、その後減っていくような数は何個ありますか。
　ただし、「１２３４５」、「５４３２１」は除きます。」　2009

（１）５ × ４ × ３ × ２ × １ となり、１２０通り（答え）

（２）例えば、1⃣ 3⃣ 5⃣ ▢ ▢、1⃣ 3⃣ ▢ 5⃣ ▢、1⃣ 3⃣ ▢ ▢ 5⃣ の場合、二つの ▢ には２か４が入る。１、２、３、４、５ のうちから２と４の選び方は、５かける４、わることの（２かける１）となり１０通り。つまり、上記の例を含めた全部では１０通り。そして、例えば、▢ ▢ は 2⃣ 4⃣ あるいは 4⃣ 2⃣ となるので、１０通りの２倍となる２０個（答え）

（３）またあとでな

ではでは、出戻りましては～

（表）

４５▢▢▢、　３２１の１通り
▢４５▢▢、　最初の▢に１、２、３の３通り
▢▢４５▢、　最後の▢に１、２、３の３通り

合計７通り

この（裏）もあるので、合わせると１４通り

それら５けたの数字の個数を問われているので、１４個（答え）

ーーーーー

（裏）

▢▢▢５４、１２３の１通り

▢▢５４▢、　最後の▢に１、２、３の３通り
▢５４▢▢、　最初の▢に１、２、３の３通り

合計７通り

甲陽２６

「 ５人の生徒が算数のテストを受けました。２人ずつの得点を合計し、大きいものから５つとって順に並べると、１７９点、１７１点、１６７点、１６４点、１６１点となりました。５人の得点を高い順に答えなさい。ただし、得点はすべて整数で表されているものとします。 」　1994

ノートPCに願いましてーは～

５人の得点の関係を、A ＞ B ＞ C ＞ D ＞ E とする

まず、５人の得点のうちから２人の得点を選ぶ場合の数は、５かけることの４、わることの２、わることの１となるので、１０。なるほど。

ところで、そのうちの５つを選びながら、５人全ての得点を答えよというのであるから、E の得点も関係している。そうでなければ、本問においては、E の得点が必ず不明になってしまい、問として成り立たないからだ。

とすると、

A＋E の得点は１７９点、１７１点、１６７点、１６４点、１６１点のうちのどれかであり、それは、１６１点か１６４点のどちらか。

無論、A＋B の得点は１７９点。そして、A＋C の得点が１７１点。

したがって、B と C の得点差は８点。

１７９点、１７１点、１６７点、１６４点、１６１点のうちから、B と C の得点差である８点をひいて２でわると整数になるのは１６４点のみ。

つまり、B＋C が１６４点。

ここでいつものつるかめを運用すると、B は８６点、C は７８点。

A＋B は１７９点なので、A は９３点。

A＋D は１６７点となり、D は７４点。

１６１点が A＋E となり、E は６８点。

５人の得点は高い順に、９３点、８６点、７８点、７４点、６８点（答え）

なかなか面白い論理問題やなぁ

青字で書いた理屈に気づかずには解けないだろう