ラ・サール４５

（１）「 ０．１８ × ３８ ＋ ４．５ × １．８ ＋ １８ × ０．２７ を求めよ。」　2002

＝ １．８ × ３．８ ＋ ４．５ × １．８ ＋ １．８ × ２．７ 

＝ １．８ × （ ３．８ ＋ ４．５ ＋ ２．７ ）

＝ １．８ × １１

＝ １９．８（答え）

もちろん、暗算で可能

たとえば、A  ×  B は、１０A  × ０．１B 、０．１A  × １０B と等しいでしょう

 

（２）「 ６３ × １９ ＋ ６２ × ５４ － ３７ × ２１ － １６ × ９３ を求めよ。」　2017

＝ ２１ ×  ５７ ＋ ３１ × １０８ － ３７ × ２１ － ４８ × ３１

＝ ２１ ×（ ５７ ー ３７ ）＋ ３１ ×（ １０８ ー ４８ ）

＝ ２１ × ２０ ＋ ３１ × ６０

＝ ４２０ ＋ １８６０

＝ ２２８０（答え）

こちらも、暗算で可能

 

（３）「 ５９ × ２０．８ － ２３６ × ０．７ ＋ ４ × ２９．５ を求めよ。」　2024

＝ ５９ × ２０．８ ー ５９ × ２．８ ＋ ２ × ５９

＝ ５９ ×（ ２０．８ ー ２．８ ＋ ２ ）

＝ ５９ × ２０

＝ １１８０（答え）

結局、どちらでも暗算で可能。ラ・サールの傾向ですね。２０年以上前にも同じように問うている。

 

ラ・サール４４

「 スタート地点からしばらく平地が続き、その後登り坂となり、さらにそのあと最初の平地の２倍の長さの平地がゴール地点まで続くコースがあります。このコースをＡは平地を毎分３００ｍ、登り坂を毎分２００ｍの速さで走り、Ｂは平地も登り坂も毎分２５０ｍの速さで走ったら、どちらもゴールするのに１２分３０秒かかりました。次の問に答えなさい。

（１）ＡとＢが同時に走り出すとしたら、２人が途中で並ぶのは走り出してから何分何秒後ですか。
（２）Ａが、登り坂１００ｍを走るときは、平地１００ｍを走るときよりも、何秒多くかかりますか。
（３）このコースの登り坂の長さは何ｍですか。」　2014

 

ではでは、事前に下調べやっとこか

まず、コースの全長は、２５０ × １２．５ ＝ ３１２５ｍ

そして、平地の長さを X ｍ、登り坂の長さを Ｙ ｍとすると、
（ Ｘ ＋２Ｘ ）／３００ ＋ Ｙ／２００ ＝ １２．５
Ｘ ＋２Ｘ ＋ Ｙ ＝ ３１２５　⇒　Y ＝３１２５ー３Ｘ 
が、成り立つ

とすると、（ Ｘ ＋ ２Ｘ ）／３００ ＋（ ３１２５ ー ３Ｘ ）／２００ ＝ １２．５
全項を６００倍すると、２Ｘ ＋ ４Ｘ ＋ ９３７５ ー ９Ｘ ＝ ７５００
３X ＝１８７５
X ＝ ６２５、Ｙ＝ ３１２５ー１８７５＝ １２５０

つまり、はじめの平地の長さは６２５ｍ、登り坂の長さは１２５０ｍ、次の平地の長さは１２５０ｍ

（１）A と B が途中で並ぶまでの時間を X 分とすると、
分速２５０ｍ  ×  X 分  ＝ ６２５ｍ ＋｛ X 分 ー（ ６２５ｍ  ÷  分速３００ｍ ）｝×  分速２００ｍ）が成りたつ

２５０X ＝ ６２５ ＋（ X ー ２５／１２ ）× ２００
２５０X ＝ ６２５ ＋ ２００X ー ５０００／１２
全項を１２倍すると、
３０００X ＝ ７５００ ＋ ２４００X  ー  ５０００
６００X ＝ ２５００
X ＝ ２５０／６０

したがって、２人が途中で並ぶのは走り出してから２５０／６０分後、つまり４分１０秒後（答え）

（２）１００ｍわることの分速２００ｍは１／２ 分、１００ｍわることの分速３００ｍは１／３ 分。
１／２ 分は３０秒、１／３ 分は２０秒。
したがって、
Ａが、登り坂１００ｍを走るときは、平地１００ｍを走るときよりも、１０秒多くかかります（答え）

（３）このコースの登り坂の長さは、１２５０ｍ（答え）

楽勝やん♪

こういうのを「エクソシスト」といっておこうか（笑）

ラ・サール４３

「 整数のうち、５の倍数を除いて、左から小さい順に並べます。
　　１、２、３、４、６、７、８、９、１１、１２、１３、１４、１６、・・・・
　これらをつなげて、ひとつの長い数字の列を作りました。
　　１２３４６７８９１１１２１３１４１６・・・・
　すると、左から９番目も１０番目も１１番目も１になります。このとき、次の問に答えなさい。

（１）左から１００番目の数字は何ですか。
（２）はじめて０が出てくるのは、左から何番目ですか。
（３）はじめて０が隣り合うのは、左から何番目と何番目ですか。」　2016

 

ではでは、ノートPCに願いましては～

（１）１桁では、５以外の８個
２桁では、
（５の倍数は、）１０、１５、・・・、８０、８５、９０、９５までで１８個
とすると、解に該当する整数の数は、９０ー１８となり、７２個
数字の個数は、７２個かけることの２となり、１４４個

１００個のうち該当する１桁の数字では８個あるので、
２桁では、９２個わることの２となり、該当する整数の個数は４６個

１０台で８個、２０台で８個、・・・、５０台で４０番目から

とすると、５１が４１番目となるので、４６番目は５７
したがって、９９番目の数字は５、１００番目の数字は７（答え）

（２）はじめて０が出てくるのは、１０１
１桁では８個、２桁では１４４個なので、９９の１桁の数である９が１５２番目。
９９１０１１０２・・・ と続いてゆくはずなので、はじめて０が出てくるのは、左から１５４番目（答え）

（３）はじめて０が隣り合うのは、１００１
１桁の整数では８個（数字の数も８個）、２桁の整数では７２個で、数字の数はかけることの２となるので、１４４個。そして、３桁では、８０個（１桁８個 ＋２桁７２個）の９倍（１００～９００台）となり、７２０個の整数。数字の数は３かけることの７２０となり２１６０個。

とすると、３桁までの数字の総数は、１桁８個たすことの２桁１４４個たすことの３桁２１６０個となり、２３１２個。
９９９１００１００２・・・ と続いてゆくはずなので、９９９の１桁目の９が２３１２個目とすると、
はじめて０が隣り合うのは、左から２３１４番目と２３１５番目（答え）