「張られた面積はいかほど？」

　おはようございます！本日もパズルを紹介します．

 

【問題】　次の平行四辺形の面積はいくつでしょうか？

 

　この問題も以前，塾でアルバイトしていたとき生徒さんに QUIZ（小テスト）として出題していたものです．

 

　たとえば，次のような等積変形を考えることで算出できます：

※今のところ，この動画のシリーズを視聴してくださる方のおよそ半数が英語話者なので，スライドのみ英語にて作成してみています．字幕（日本語・英語）を利用できます．

 

　もともとは高校生のとき，2次の行列式の幾何的な意味を考えている中で思いついた解法です．画期的なアイディアだとは思いませんが，一つの素朴なイメージとして個人的には気に入っています．

 

　3次の行列式も同様に6つの直方体の体積を足し引きすることによって，（3本のベクトルによって空間上に張られる）平行六面体の符号付き体積を表すと解釈できたはずです．

　”はず” というのは，項が多いため久々にやろうとするのが億劫で躊躇っているからです（笑）今晩，寝床のなかで考えてみたいと思います．

 

　3次の場合の幾何的な導出に成功された方がいらっしゃいましたら，ぜひコメントにてご教示のほどお願いします！

 

【蛇足】 ボツにした追加問題

　4次元のユークリッド空間において，2つの線型独立なベクトル (x_1, y_1, z_1, w_1) および (x_2, y_2, z_2, w_2) が張る平行四辺形の面積はどのように表されるでしょうか？

　※ 2次元のユークリッド空間の場合，2つの線型独立なベクトル (x_1, y_1) および (x_2, y_2) が張る平行四辺形の面積 S は，上で紹介したように S = |x_1 * y_2 – x_2 * y_1| と表すことができます．

 

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