「π = 3 だとどうなる？」

　円周率は π = 3.141592...から始まって無限に数字が続く無理数です．しかし僕が小学生のときには， π = 3.14 と近似して図形の面積などを求めていました．

　本当は違うものを π = 3.14 だとして計算しているので，ときには不都合なことが起きそうなものです．

 

　以前 塾でアルバイトしていたとき，生徒さん方に度々次のような論理パズルを出題していました（☞注1）．

 

【問題】 いま「π = 3 である」と仮定します．一辺の長さが 1 の正六角形と半径 1 の円の周の長さをそれぞれ L1，L2 とするとき，下記の二人の主張で正しいのはどちらでしょうか？

 

　きちんと「問い」と「答え」になっているか少し心配ですが，この問題に関する一つの事実を次の動画でご紹介しました：

 

　2002年ごろ，「『ゆとり教育』の一環として，小学校での算数教育において円周率の値を 3 として教えることになる」という話が世間を騒がせたとのことです．もっとも，Wikipediaの『円周率は3』の記事によると，これは正確には誤報だったそうですが，実際に「π = 3 である」と仮定すると上記のような【矛盾】が生じることになります（☞注2）．

　ただし，現行の算数教育で採用されている「π = 3.14 である」という仮定のもとでも矛盾は生じてしまいます．たとえば，円に内接する正60角形に注目すれば，内接多角形の周の長さ L1' が円周 L2' よりも大きくなるので，L1' < L2' に矛盾することが判ります．

 

　しかし，正60角形の周長を求めるのはなかなか骨が折れますね．．．（笑）　もし他の矛盾の導き方をご存知の方がいらっしゃいましたら，ぜひ教えていただけると嬉しいです！

 

注1．次のような文脈で，しばしばこの問題を出題していました：
(1) 【背理法】という証明の形式をはじめて学ぶとき
(2) 矛盾のある体系では任意の命題が導けるという【爆発律】を紹介するとき（※この問題を少し変形して出題）
(3) 円周率を3や3.14と近似することの問題点を提起するとき（2003年の東大入試の過去問を演習するとき）

注2．狭義の背理法とは，次のことを言います：
「「Aでない」 → ⊥」 ⇔ 「Aである」
動画内の定義と少し異なりますが，【二重否定の除去】：
「「Aでない」でない」 ⇔ 「Aである」
を仮定することで同値になります．