【１分レシピ】二項係数の漸化式 Part 1

　おはようございます！

　昨日は【二項係数の漸化式】の証明に挑戦しました．３通りの方法で行ってみましたが，今朝はそのうちの１つをシェアさせていただきたいと思います．

 

　さて，ここで「二項係数の漸化式」と呼んでいるのは，次の恒等式のことです：

　nCkという表記は「異なるn個のものからk個を選ぶ方法の総数」を表します（☞注）．nCk は， (1 + x)^n を二項展開したときの x^k の項の係数（二項係数）と一致するので同一視できます．

 

　今回は次の "乗法公式” を用いて証明しましょう：

 

　証明は次の通りとなります：

 

　実は電車にガタゴト揺られながら証明していたのですが，夢中になりすぎていたあまり乗り過ごし，昨日は目的地までの終電を逃してしまいました（苦笑）

　皆さま良い一日を．

 

注．S を濃度が n (< ∞) の集合とします．組合せ論では， S の部分集合のうち濃度が k であるものを「S の k-組合せ」と呼びます．S の k-組合せ全体から成る集合を P_k(S) (⊂ 冪集合 P(S)) と書くとき，この集合の濃度 |P_k(S)| を nCk と表記します．