マッキーの算数指導法『特殊算』…『仕事算…その４・中学入試問題《聖光学院中学校》』

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今日は、割合を使った特殊算の仲間である仕事算の問題解法指導の４回目です。

仕事算は、人が働く問題の他に、水槽に水を入れる管やポンプの問題が多く出題されます。

水槽に水を入れる管の他に、水を出す管が付いた水槽の問題など、かなり変化のある複雑な問題設定が可能です。


今回扱う問題は、今年の春に聖光学院中学校で出題された問題です。

問題の構成は、大きな問題５題の出題で、その【２】が今回の仕事算です。

今回の水槽の問題は、水を入れるポンプが３台という設定で、条件が少し複雑ですが、与えられた条件を整理して考えます。



【問題１】

ある水槽と３台のポンプＡ，Ｂ，Ｃがあります。からの状態から水槽いっぱいに水を入れるために、ＡとＢのポンプを同時に使って水を入れると１５分かかり、ＢとＣのポンプを同時に使って水を入れると３０分かかり、ＣとＡのポンプを同時に使って水を入れると２０分かかります。このとき、次の問いに答えなさい。

（１）Ａ，Ｂ，Ｃのポンプを２台ずつ
ＡとＢ、ＢとＣ、ＣとＡ、ＡとＢ、ＢとＣ、ＣとＡ、……
の順で１分ごとに交換して使う場合、空の状態から水槽いっぱいに水を入れるためには何分かかりますか。

（２）Ａ，Ｂ，Ｃのポンプを３台同時に使って、空の状態から水槽いっぱいに水を入れるためには何分かかりますか。

（３）Ａ，Ｂ，Ｃのポンプを１台ずつ順番に使って水を入れることを考えます。まずポンプＡを（　ア　）分使い、次にポンプＢを（　イ　）分使い、最後にポンプＣを７３分使うと、空の状態から水槽いっぱいに水を入れることができます。
このとき、（　ア　）、（　イ　）にあてはまる整数の組を（　ア　、　イ　）のようにすべて答えなさい。



【ヒント】

（１）

まず全体の仕事量、すなわちこの水槽の容積を１と置きます。

次に、単位時間当たり（この場合１分当たり）の仕事量…入れる水の量を求めます。

与えられた条件を整理すると、Ａ＋Ｂ＝１／１５、Ｂ＋Ｃ＝１／３０、Ｃ＋Ａ＝１／２０となります。

それから、（ＡとＢ、ＢとＣ、ＣとＡ）が１周期で、時間は３分ごとの繰り返しとなる周期算になっていることに注目します。


（２）

こうした条件の問題は、下の表を用いて考えます。



上の表の①～③の条件から、工夫してＡ＋Ｂ＋Ｃの１分当たりの仕事量④（水量）を求めてみましょう。



（３）

（２）で整理した表から、ＡとＢとＣのそれぞれの１分当たりの仕事量（水量）を求めます。

水槽の容積１から、ポンプＣを７３分使って入れた水量を引くと、ＡとＢのポンプを使って入れた水量を求めることができます。

しかしその後が問題で、ＡとＢのポンプのそれぞれの１分当たりの仕事量（水量）と、ＡとＢのポンプを使って入れた合計の水量を出すことができましたが、ＡとＢの２台で水を入れた合計時間が出ていませんから、つるかめ算として簡単に計算できないことがわかります。

四谷大塚の予習シリーズでは、こうした問題を「条件が足りないつるかめ算」として取り扱っていますが、このタイプの問題は、本質的には整数の性質を使った問題として考えるべきです。



サザンカの蕾がふくらみ始めました


【問題１・解答】

（１）

上のヒントより、１周期３分でする仕事量（入れる水量）は、１／１５＋１／３０＋１／２０＝３／２０と出すことができます。

全体の仕事量１（水槽の容積）を、上で求めた１周期の仕事量３／２０で割ることにより、何周期分の仕事量かを調べます。

１÷３／２０＝６と２／３…まず６周期は必要であることが分かります。

１－３／２０×６＝１／１０…６周期後の残りの仕事量

この残りの仕事量１／１０から、まず（Ａ、Ｂ）の１分当たりの仕事量１／１５を引きます。

１／１０－１／１５＝１／３０

その残り１／３０が、ちょうど（Ｂ、Ｃ）の１分当たりの仕事量１／３０となっていますから、残りをＡとＢ、ＢとＣ各１分ごと使って、水槽をいっぱいにすることができます。

よって、満水にかかる時間は、１周期３分で６周期分と、最後の２分の合計になります。

３×６＋２＝２０分…答え


（２）

条件を書いた表から、①と②と③の単位時間当たりの仕事量を合計すると、

（Ａ＋Ｂ）＋（Ｂ＋Ｃ）＋（Ｃ＋Ａ）＝（Ａ＋Ｂ＋Ｃ）×２　となります。

すなわち、条件として出ている３つの数量を合計すると、ＡとＢとＣの３台のポンプの単位時間当たりの仕事量（水量）の和の２倍がでます。

このことから、Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝｛（Ａ＋Ｂ）＋（Ｂ＋Ｃ）＋（Ｃ＋Ａ）｝÷２　で求めることができます。

（１／１５＋１／３０＋１／２０）÷２＝３／４０…３台同時に使ったときの１分当たりの仕事量（水量）

よって求める時間は、全体の仕事量（水槽の水量）１を、求めた３台の単位時間当たりの仕事量（水量）で割ることにより、満水になるまでの時間を求めることができます。

１÷１／４０＝４０／３＝１３と１／３（分）…答え


（３）



上の表から、Ｃの１分当たりの仕事量（水量）は、④から①を引くことにより求めることができることが分かります。

Ｃ＝３／４０－１／１５＝１／１２０

Ｂは②の数値から、上で求めたＣの値を引くことにより求めることができます。

Ｂ＝１／３０－１／１２０＝１／４０

Ａは①から、上のＢの値を引いて求めます。

Ａ＝１／１５－１／４０＝１／２４

この表を使うと、上に示した式以外にも、Ａ，Ｂ，Ｃの単位時間当たりの仕事量を求めることができます。…子ともに表を示して、求め方を考えさせましょう。


全体の水槽の水量１から、最後にポンプＣを７３分使って入れた水量を引くと、ＡとＢを使って入れた水量を求めることができます。

１－１／１２０×７３＝４７／１２０

このことから、Ａを（　ア　）分使い、次にポンプＢを（　イ　）分使い、水槽に４７／１２０の水を入れたという条件の問題であることが整理できました。

こうした問題は、文字式で与えられた条件を整理することからスタートします。

ここまで求めた条件を文字式で表すと、１／２４×ア＋１／４０×イ＝４７／１２０という式が成り立ちます。

両辺に、それぞれの分数の分母の最小公倍数である１２０をかけて、式をできるだけ簡単にします。

すると、５×ア＋３×イ＝４７という簡単な式になります。

中学校で言えば、未知数２つの二元一次連立方程式ですが、与えられた条件式が１本ですから、答えは決まりません。

基本的には、未知数の数だけ条件式がないとその方程式の答えは出てきません。

すなわち、未知数がアとイの２つですから、本来であればアとイについてもう１本の式が必要です。

しかし、求めるアとイが整数という条件から、この条件を満たす整数（ア、イ）の組(無論自然数）を複数個探すことができます。

この段階で、上手に整数の性質を使うことにより、すばやく答えを数え上げることができます。

この問題では、（５×ア）すなわち５の倍数は必ず１の位が０か５ですから、上の式で答えである４７の一の位が７となるためには、（３×イ）すなわち３の倍数の一の位が２か７となることが必要です。

すると、イにはいる整数の一の位は、必ず４か９が付くことが理解できるでしょうか。

このように、この問題は「つるかめ算」の仲間と言うより、文字式と表を使い「整数の性質」を利用して解く問題と言えます。

文字式で条件を整理できたら、次は表解で答えを求めます。…、まず可能性が限定されたイの数値を書いて、それに対応するアが存在するか確かめていきます。

ア　 ７ 　４　 　１　
－－－－－－－－－－－　
イ　 ４　 ９　 １４

よって求める答えは、（７，４）、（４，９）、（１，１４）の３組です。

二元一次の方程式で条件式１本、三元一次の方程式で条件式２本のようにすぐに計算で答えを出すことのできない問題は、表解で値を書き並べながら求めますが、整数の性質を上手く使って手際よく解答します。


今回取り上げた聖光学院の仕事算の入試問題は、小問（１）と（２）は基本的な問題といってよいでしょう。

最後の（３）は、文字式で条件を整理し、整数の性質を使って素早く書き並べて答えを求めることを要求した問題で、時間制限のある入試では比較的難しい問題です。


仕事算の教え方は今回で終了し、次回からやはり仕事に関する問題を取り扱う「のべ算」について、その指導法を伝授しましょう。



仕事算の指導法について興味ある方は、以下のブログもご覧下さい。


マッキーの算数指導法『特殊算』…『仕事算…その１・中学入試問題《青山学院中等部》』

マッキーの算数指導法『特殊算』…『仕事算…その２・中学入試問題《ラ・サール中学校》』

マッキーの算数指導法『特殊算』…『仕事算…その３・中学入試問題《鴎友学園女子中学校》』



サザンカの蕾にまじって、咲き始めた花もあります