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空間図形:正四角すいと球

2015-10-16 | 日記


2曲線 y=e^(x-1), y=log(x)+1 は、ある点において接線を共有する

2015-10-09 | 日記


lim_[n→+∞] n/2^n を示せ。
自然数nに対して、2^nの桁数をa(n)とおく。このとき、lim_[n→∞] a(n)/n を求めよ。
a(1)=2,a(n+1)=1/2(√a(n)+1)のとき、lim_[n→∞] a(n) を求めよ。
実数a(0<a<1)に対して、Σ[n=1,∞]_a^n×sin(90n) を求めよ。
Σ[n=1,∞]_n/(n+1) の収束・発散を求めよ。
Σ[n=1,∞]_1/√n の収束・発散を求めよ。
正の実数t、自然数nに対して、lim_[n→∞] (1+t/n)^(n-1)を求めよ。
y=x^a (x>0) を微分せよ。
y=a^x (a>0,a≠1) を微分せよ。
y=x^(1/x) (x>0) を微分せよ。
y=x・e^(-x^2) のグラフを描け。
関数f(x)=(x-e^(x-1))/(1+e^x) の極値を求めよ。
関数f(x)=x(x-1)(x-2)の区間t≦x≦t+1(t≧0)における最大値をg(t)とするとき、関数y=g(t)のグラフを描け。

2曲線 y=e^(x-1), y=log(x)+1 は、ある点において接線を共有することを示せ。
lim_[x→+∞] x/e^x を示せ。

∫[3,5] x(x-3)^2 dx を求めよ。
∫[1,2] 1/{x(x-3)} dx を求めよ。
∫[3,5] (sinx)^2 dx を求めよ。

α<βのとき、|e^β・sinβ-e^α・sinα|≦√2・e^β・(β-α)を示せ。
lim_[n→∞] 1/n・Σ[k=1,n-1]_k/√(3n^2+k^2) を求めよ。
y=[log(x)]^2(x>0) と y=log(x^2)(x>0) で囲まれる部分の面積を求めよ。
0≦a≦1である実数aに対して、関数F(a)をF(a)=∫[-a,1-a] |x(x-a)| dx によって定める。F(a)をaで表せ。
任意の自然数nに対して、0<∫[0,1] e^-x・x^n dx<1/(n+1) が成り立つことを示せ。

2つの曲線 y=sinx, y=sin2x によって 0≦x≦π の区間ではさまれる部分の面積を求めよ。

aは正の定数とする。 0≦x≦2π において、2曲線 y=sinx, y=a・cosx で囲まれる部分の面積を求めよ。

数直線上を動く点pの時刻tにおける速度がv(t)=3t^2-6tと表されている。
t=0~3までの間に点pが実際に動いた距離を求めよ。

動点pがy=log(cosx)上を速さ1で、x座標が常に増加するように動いている。
点pのx座標がπ/6になった瞬間における加速度ベクトルの大きさを求めよ。

xyz空間にa(2,2,0),b(-2,2,0),c(-2,-2,0),d(2,-2,0)を4頂点とする正方形がある。
半径1の球sの中心がこの正方形の周上を1周するとき、sが通過する部分の体積を求めよ。


25gまでの普通郵便と、簡易書留をそれぞれ何通かずつ出した

2015-10-09 | 日記

不定方程式 41x+355y=1 について、x が 0<x<100 を満たす整数解は、x=□、y=□ である。   (上智)

25gまでの普通郵便と、簡易書留をそれぞれ何通かずつ出したところ、料金の合計はちょうど5000円となった。
なお、1通あたりの郵便料金は、普通郵便が82円、簡易書留が710円である。このとき、普通郵便は□通、簡易書留は□通である。   (上智)

82円および205円の2種類の切手を組み合わせて支払える6100円以上6110円未満の金額の一の位の数は、□であり、そのような組み合わせは□通りある。
この組み合わせのうち、2種類の切手の合計枚数が最小になるのは82円切手が□枚、205円切手が□枚のときである。
また、2種類の切手の枚数の差が最小になるのは82円切手が□枚、205円切手が□枚のときである。   (上智)


2次関数 f(x)=ax^2+bx がある。

2015-10-03 | 日記

|2x-3|=[x] を満たす x を求めよ。ただし、[x] は x を超えない最大の整数を表す。

xに関する不等式 x^2-px+1<0 が 3個以上4個以下の整数値の解xを持つような整数値pを求めよ。

x,y,z を負でない整数とする。x+2y+4z=8 を満たす (x,y,z) の組の個数を求めよ。

x,y,k を負でない整数とする。x+2y=4k を満たす (x,y) の組の個数を求めよ。

x,y,z,n を負でない整数とする。x+2y+4z=4n を満たす (x,y,z) の組の個数を求めよ。

nを自然数とする。2x+y≦5n , x-2y≦0 , x≧0 を同時に満たす整数の組(x,y)の個数を求めよ。

nを自然数とする。2^2≦x<2^3 , 0<y≦log_{2}(x) を同時に満たす整数の組(x,y)の個数を求めよ。

nを自然数とする。2^n≦x<2^(n+1) , 0<y≦log_{2}(x) を同時に満たす整数の組(x,y)の個数を求めよ。

nを自然数とする。2^1≦x<2^(n+1) , 0<y≦log_{2}(x) を同時に満たす整数の組(x,y)の個数を求めよ。


x,y,n を負でない整数とする。x/3+y≦n を満たす (x,y) の組の個数を求めよ。

(1)(3,5)(7,9,11,13)(15,17,19,21,23,25,27,29)(31,33,・・・ のとき、第n番目の群の、項数と初項を求めよ。

(2)(4,6)(8,10,12)(14,16,18,20)・・・ のとき、100は第何群の何番目の項であるか。


2014^10 の十の位の数字を求めよ。ただし必要ならば、7^9=40353607、7^10=282475249 を用いてもよい。

2014^10 の十万の位の数字を求めよ。ただし必要ならば、7^9=40353607、7^10=282475249 を用いてもよい。

2014^10 の上3桁の数字を求めよ。ただし必要ならば、7^9=40353607、7^10=282475249 を用いてもよい。


1,2,4,8,11,13,16,17,19,22,23,26,29,・・・について、第何項で初めて105を超えるか。初項から第100項までの和を求めよ。

自然数Nのすべての正の約数の和は、60であるという。このようなNは何個あるか。

N=100!とするとき、Nの末尾には0がいくつ並ぶか。
N=100!とするとき、Nの桁数は100桁より多く、200桁以下であることを示せ。
N=100!とするとき、Nと50^100のどちらが大きいか。

「nを2より大きい自然数とするとき、x^n+y^n=z^n を満たす整数解 x,y,z (xyz≠0) は存在しない。」
というのはフェルマーの最終定理として有名である。しかし多くの数学者の努力にも関わらず一般に証明されていなかった。
ところが1995年にこの定理の証明がワイルスの100ページを超える大論文と、テイラーとの共著論文により与えられた。
当然 x^3+y^3=z^3 を満たす整数解 x,y,z (xyz≠0) は存在しない。
フェルマーの定理を知らないものとして、次を証明せよ。
x,y,zを0でない整数とし、もしも等式 x^3+y^3=z^3 が成立するならば、x,y,z のうち少なくとも1つは3の倍数である。

実数x,y について、x+y,xy が共に偶数とする。自然数nに対して、x^n+y^n は偶数となることを示せ。
整数以外の実数の組(x,y)の例を示せ。

5x-11y=1 を満たす自然数の組(x,y)のうち、xの値が0に近いほうから9番目の組を求めよ。
37x+23y=1 を満たす整数の組(x,y)のうち、yの値が40に最も近い組を求めよ。

nを正の整数とするとき、不等式 4|x|+3|y|≦12n を満たす組(x,y)のうち、xとyが共に整数である組の総数を求めよ。

mx^2+5(m+1)x+4(m+2)=0 が有理数の解をもつとき、整数mの値を求めよ。

x^3-3x-1=の解aについて次のことを示せ。
1.aは整数ではない。
2.aは有理数ではない。
3.aはp+q√3(p,qは有理数)の形で表せない。

等式(x^2-ny^2)(z-nt^2)=(xz+nyt)^2-n(xt+yz)^2を示せ。
x^2-2y^2=-1の自然数解(x,y)が無限組であることを示し、x>100となる解を一組求めよ。

三角形ABCと三角形A'B'C'において、AB=A'B'=1,AC=A'C'=x,∠BAC=60°,∠B'A'C'=120°とする。
1.(B'C')^2/(BC)^2をxを用いて表せ。
2.(B'C')^2/(BC)^2が整数となるxをすべて求めよ。

[a]はa以下の整数のなかで最大のものを表す。
[2.6][3][-1.6]を求めよ。
y=[x]のグラフをかけ。
不等式[x]^2-8[x-0.5]+7<0を満たすxの範囲を求めよ。

正の整数kに対して、akを√kに最も近い整数とする。例えば、a5=2,a8=3,a20=4である。
1.a1+a2+・・・+a12を求めよ。
2.a1+a2+・・・+a2015を求めよ。

座標平面上において、格子正六角形は存在しないことを示せ。
座標空間において、格子正六角形の例を1つ挙げよ。また、そのうち面積が最小となるものの面積を求めよ。

自然数qをq=(2^r)*p(rは0以上の整数、pは奇数)と表す。log(2)qが有理数ならばp=1であることを示せ。
自然数a,bに対して、log(4)a=k+m,log(4)b=L+nとおく。ただし、K,Lは整数で、m,nは0≦m<1,0≦n<1である。
このとき、m+nは0,1/2,1または無理数であることを示せ。

mを正の整数とする。このとき、n=m+1,m+2・・・に対してΣ(k=m+1,n) k-1/k!=1/m!-1/n!が成り立つことを示せ。
m,nは2≦m≦nを満たす整数とする。また、ak,bk(m≦k≦n)は0≦ak<k,0≦bk<kを満たす整数で、(k=m,n) ak/k!=(k=m,n) bk/k!が成り立っているとする。
このとき、ak=bk(m≦k≦n)であることを示せ。

2x^2-y^2=9 を満たす整数 x,y は3の倍数であることを証明せよ。
21x^2-10y^2=9 を満たす整数 x,y は存在しないことを証明せよ。

数列11,1001,100001,10000001,…について、この数列の項はみな11の倍数であることを証明せよ。
数列11,1001,100001,10000001,…について、この数列の中の7の倍数を一般的に表せ。

a^1,a^2,a^3,・・・をpで割った余りとして得られる数列は、繰り返しになる。

2次方程式 x^2+(m-11)x+m=0 が自然数の解を持つような整数mの値をすべて求めよ。

2次関数 f(x)=ax^2+bx がある。
ある整数kに対してf(k-1),f(k),f(k+1)が整数となるとき、すべての整数nに対してf(n)は整数であることを示せ。

関数 f(x)=(x^2+3x+9)/(x^2-3x+9) の値が整数となるxの値を求めよ。

方程式 [x]=[x^2/2] の解を求めよ。

10円、50円、100円の硬貨でちょうど400円を支払う場合の数を求めよ。
10円、50円、100円の硬貨でちょうど10000円を支払う場合の数を求めよ。

5x+4y≦200,x≧0,y≧0 を満たす整数の組(x,y)の個数を求めよ。

nを3以上の自然数とする。n!-1の1より大きい約数はnより大きいことを示せ。
nを3以上の自然数とする。n<p<n! を満たす素数pが存在することを示せ。

3で割ると2余る素数は無限に存在することを証明せよ。

p,q,r,sが有理数であるとき、次の問いに答えよ。ただし、必要なら√2,√3,√6が無理数であることを用いてもよい。
1.aが無理数のとき、pa=qならばp=q=0であることを示せ。
2.√2+√3=rならばp=q=r=0であることを示せ。
3.√2(p+√3q)=r+√3sならばp=q=r=s=0であることを示せ。
4.√2p+√3q+√6r=sならばp=q=r=s=0であることを示せ。
5.f(x)=px^3+qx^2+rx+sがf(√2+√3)=0を満たすならばp=q=r=s=0であることを示せ。

素数pおよび自然数nに対し、N=1+p+p^2+…+p^nとおく。
(1) N<p^(n+1)を示せ。
(2) n以下の自然数kに対し、集合{1,2,…,N}に属する数の中、p^kの倍数であるものの個数m(k)を求めよ。
(3) p^mがN!の約数であるような最大の整数mを求めよ。


log_{2}(x)+log_{2}(y)+log_{2}(z)=1+log_{2}(x+y+z)を満たす整数の組(x,y,z)でx≦y≦zであるものをすべて求めよ。

log_{2}(ax)+log_{2}(by)+log_{2}(cz)=1+log_{2}(ax+by+cz)を満たす整数の組(x,y,z)が存在するような
正の整数の組(a,b,c)は全部で何通りあるか。

自然数qをq=a(m)・2^m+a(m-1)・2^(m-1)+…+a(1)・2+a(0)
(mは0以上の整数、a(i)は0または1)という形で表したとき、aiのうちで1であるものの個数をt(q)と書くことにする。
たとえば、11=1*2^3+0*2^2+1*2+1であるから、t(11)=3、また、16=2^4であるから、t(16)=1である。
以下の問いに答えよ。ただし、nは自然数とする。
(1)t(15),t(2^n-1)をそれぞれ求めよ。
(2)0以上の整数に対して、t(2^r*q)=t(q)が成り立つことを示せ。
(3)t(q)=2のとき、t(q^2)の値を求めよ。
(4)N=2^nとし、bn=Σ(q=1,N)t(q)とおく。bnをnの式で表せ。


a,bは整数で、a≧2,b≧2とする。ax(0)+by(0)=1を満たす整数x(0),y(0)があるとき、
1.整数nについて、x=x(0)+bn,y=y(0)-anとおけば、ax+by=1を満たすことを示せ。
2.整数x(1),y(1)で、ax(1)+by(1)=1、lx(1)l<b、ly(1)l<aを満たすものがあることを示せ。

自然数nに対して、(3√2+4)^n=k+a、ただし、kは整数、0≦a<1とする。nが奇数のとき、a=(3√2-4)^nとなることを示せ。

2次関数 f(x)=(a+2)x^2-2(a^2+2)x+1 において、aを2以上の整数とする。
xに整数値を代入したとき、f(x)の値が最も小さくなるようなxの値をnとするとき、nをaを用いて表せ。

百の位がx、十の位がy、一の位zがであるような3桁の整数nを考える。ただし、x≦y≦zとする。
(1)等式1/x+1/y+1/z=1を満たすnをすべて求めよ。
(2)不等式1/x+1/y+1/z<1を満たすの中で、1/x+1/y+1/zを最大にするnと、その時の1/x+1/y+1/zの値を求めよ。

(1)(4,7,10)(13,16,19,22,25)・・・ のとき、第10群の第5項目を求めよ。また、1000は第何群の何番目の項であるか。

(1)(1,3)(1,3,5,7)(1,3,5,7,9,11,13,15)・・・ のとき、第450項を求めよ。また、第n群の和を表せ。


2^n-1 が素数であるならば、n が素数であることを示せ。 

2015-10-03 | 日記

2^n-1 が素数であるならば、n が素数であることを示せ。 (愛知大学)

nが正の偶数のとき、2^n-1 は3の倍数であることを示せ。
nを自然数とする。2^n+1 と 2^n-1 は互いに素であることを示せ。
p,qを異なる素数とする。2^(p-1)-1=pq^2 を満たすp,qの組をすべて求めよ。 (九大)

nを相異なる素数 p1,p2,・・・,pk(k≧1) の積とする。a,bをnの約数とするとき、a,bの最大公約数をG、最小公倍数をLとし、f(a,b)=L/G とする。
(1) f(a,b) がnの約数であることを示せ。
(2) f(a,b)=b ならば、a=1 であることを示せ。
(3) mを自然数とするとき、mの約数であるような素数の個数をs(m)とする。s(f(a,b))+s(a)+s(b) が偶数であることを示せ。 (東工大)

18=5+6+7  18=3+4+5+6  2005= ?   (東北大)

n^5-n は 5 で割り切れることを示せ。(中京大学)

800までの正の整数で、800と互いに素なものは何個あるか?  (一橋)

nを2以上の整数とする。n以下の正の整数のうち、nとの最大公約数が1となるものの個数をE(n)で表す。
E(2)=1、E(3)=2、E(4)=2、・・・、E(10)=4、・・・、E(1024)、E(2015)を求めよ。  (一橋)

a1・1!+a2・2!+・・・+an・n!=2015 を満たすnを求めよ。
ただし、nは自然数、0≦ak≦k (k=1,2,・・・,n)、an≠0とする。 (早大)

mを2015以下の正の整数とする。2015Cm が偶数となる最小のmを求めよ。(東大・理系・5番)

整数nに対し、整数f(n)が次の123.の条件を満たしているとき、f(4n+1)を求めよ。
1.f(2015)=0
2.すべての整数nに対して、f(f(n)+4)=n
3.すべての整数nに対して、f(2n)<f(2n+2) (早大)

a,b,c,d,eを正の実数として整式
f(x)=ax^2+bx+c
g(x)=dx+e
を考える。
すべての正の整数nに対してf(n)/g(n)は整数であるとする。
このとき、f(x)はg(x)で割り切れることを示せ。 (京大・理系)

Nは999桁の数で9の倍数である。Nの各桁の数字の合計をA、Aの各桁の数字の合計をB、Bの各桁の数字の合計をCとする。
Cを求めよ。   (電気通信大)

4≦a,b≦9 を満たす整数a,bに対して、b^3-a と b^3+a^4-a^2 の最大公約数が 5 である時、整数a,bを求めよ。   (法政)

2次方程式 x^2+kx+2k-3=0 が 整数解を持つとき、整数kの値を求めよ。   (中央)

p,qが素数であって、2次方程式 2x^2-8px+pq=0 が整数解をもつとき、p,qの値を求めよ。ただし、p<qとする。   (日大)

xに関する不等式 x^2-px+1<0 が 3個以上4個以下の整数値の解xを持つような整数値pを求めよ。   (近大)

実数 x,y が -1≦x,y≦1 を満たすとき、不等式 0≦x^2+y^2-2x^2y^2+2xy√(1-x^2)√(1-y^2)≦1 が成り立つことを示せ。   (阪大)

2^(1/2) と 3^(1/3) が無理数であることを示せ。
p,q,2^(1/2)p+3^(1/3)q がすべて有理数であるとする。そのとき、p=q=0であることを示せ。   (阪大)

k,m,nを自然数とする。2^kを7で割った余りが4であるとする。このとき、kを3で割った余りは2であることを示せ。 
k,m,nを自然数とする。4m+5n が3で割り切れるとする。このとき、2^mnを7で割った余りは4ではないことを示せ。  (千葉大)

命題:nが正の整数ならば、n^3/26+100≧n^2 が成り立つ。この命題の真偽を述べよ。(東大)
命題:整数n,m,lが 5n+5m+3l=1 を満たすならば、10nm+3ml+3nl<0 が成り立つ。この命題の真偽を述べよ。(東大)

直線y=px+qが、y=x^2-xのグラフとは交わるが、y=lxl+lx-1l+1のグラフとは交わらないような(p,q)の範囲を図示し、その面積を求めよ。

xyz空間の中で、(0,0,1)を中心とする半径1の球面sを考える。
点qが(0,0,2)以外のs上を動くとき、点qと点p(1,0,2)の2点を通る直線Lと平面z=0との交点Rとおく。
Rの動く範囲を求め、図示せよ。

一辺の長さが1の正四面体ABCDにおいて、pを辺ABの中点とし、点Qが辺AC上を動くとする。
このとき、cos∠PDQ の最大値を求めよ。 (京大)

2つの関数y=sin(x+π/8)とy=sin2xのグラフの0≦x≦π/2の部分で囲まれる領域を、x軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を求めよ。

次の2つの条件を同時に満たす四角形のうち面積が最小のものの面積を求めよ。
a.少なくとも2つの内角は90°である。
b.半径1の円が内接する。ただし、円が四角形に内接するとは、円が四角形の4つの辺すべてに接することをいう。

aを実数とするとき、(a,0)を通り、y=e^x+1に接する直線がただ1つ存在することを示せ。
a(1)=1として、n=1,2,・・・について、(a(n),0)を通り、y=e^x+1に接する直線の接点のx座標をa(n+1)とする。このとき、lim(n→∞)[a(n+1)-a(n)})を求めよ。

2つの関数をf(0)(x)=x/2,f(1)(x)=(x+1)/2とおく。
x(0)=1/2から始め、各n=1,2,・・・について、それぞれ確率1/2でx(n)=f(0)(x(n-1))またはx(n)=f(1)(x(n-1))と定める。
このとき、x(n)<2/3となる確率を求めよ。

正の実数aに対して、座標平面上で次の放物線を考える。
C:y=ax^2+(1-4a^2)/4a
aが正の実数全体を動くとき、Cの通過する領域を図示せよ。 (東大)

1・1!+2・2!+・・・+n・n!=x!-1 を満たす自然数xを求めよ。 (早大)

x^2-3y^2=1 を満たす自然数解をすべて求めよ。 (早大理工)

x^2+3y^2=1 を満たす自然数解をすべて求めよ。 (東工大)

a-b-8 と b-c-8 が素数となるような素数の組(a,b,c)をすべて求めよ。    (一橋)

41x+355y=1 を満たす整数解をすべて求めよ。   (上智)

41x+355y=2500 を満たす整数解をすべて求めよ。   (上智)

6100≦82x+205y<6110 を満たす負でない整数解の組み合わせは何通りあるか求めよ。   (上智)