ｎを2以上の整数とする。ｎ以下の正の整数のうち、ｎとの最大公約数が1となるものの個数をＥ(n)で表す。
Ｅ(2)＝1、Ｅ(3)＝2、Ｅ(4)＝2、・・・、Ｅ(10)＝4、・・・、Ｅ(1024)、Ｅ(2015)を求めよ。 （一橋）
ｎを4以上の整数とする。正ｎ角形の2つの頂点を無作為に選び、それらを通る直線をｍとする。
さらに、残りのｎ－２個の頂点から2つの頂点を無作為に選び、それらを通る直線をｎとする。
直線ｍとｎが平行になる確率を求めよ。 （一橋）
k,m,nを自然数とする。2^kを7で割った余りが4であるとする。このとき、ｋを3で割った余りは2であることを示せ。
k,m,nを自然数とする。4m＋5n が3で割り切れるとする。このとき、2^mnを7で割った余りは4ではないことを示せ。
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数学：典型・頻出問題の演習
－解法のPointsと解答へのApproach－
・数学１Ａ２Ｂ
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・数学３Ｃ
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http://skredu.mods.jp/sk/3-2.pdf
http://skredu.mods.jp/sk/3-3.pdf
http://skredu.mods.jp/sk/3-4.pdf
・数学：典型・頻出問題の演習＋α
http://skredu.mods.jp/sk/c-1.pdf
http://skredu.mods.jp/sk/c-2.pdf
http://skredu.mods.jp/sk/c-3.pdf
・数学：典型・頻出問題の演習＋β
http://skredu.mods.jp/sk/d-1.pdf
・数学１Ａ２Ｂの確認テスト
http://skredu.mods.jp/sk/1a.pdf
http://skredu.mods.jp/sk/2b.pdf
・教科書だけでは足りない大学入試攻略整数
http://skredu.mods.jp/seisu/seisuu-kiso.pdf
http://skredu.mods.jp/seisu/seisuu-gensoku.pdf
3で割ると2余る素数は無限に存在することを証明せよ。
条件を満たす最大の素数が存在すると仮定、Pとおく
3～Ｐまでの素数を全てかけて＋2
(3×5×7×……×Ｐ)＋2
＝3×(5×……×Ｐ)＋2
これは題意を満たす素数で、明らかにＰよりも大
仮定に矛盾するので、Ｐは無限に存在
命題：ｎが正の整数ならば、n^3/26＋100≧n^2 が成り立つ。この命題の真偽を述べよ。（東大）
命題：整数n,m,lが 5n＋5m＋3l＝1 を満たすならば、10nm＋3ml＋3nl＜0 が成り立つ。この命題の真偽を述べよ。（東大）
a1・1!＋a2・2!＋・・・＋an・n!＝2015 を満たすｎを求めよ。
ただし、ｎは自然数、0≦ak≦k (k＝1,2,・・・,n)、an≠0とする。 （早稲田大学）
ｍを2015以下の正の整数とする。2015Ｃm が偶数となる最小のｍを求めよ。（東大・理系・5番）
整数ｎに対し、整数f(n)が次の123.の条件を満たしているとき、f(4n＋1)を求めよ。
1.f(2015)＝0
2.すべての整数ｎに対して、f(f(n)＋4)＝n
3.すべての整数ｎに対して、f(2n)＜f(2n＋2) （早大）
41x＋355y＝1 を満たす整数解をすべて求めよ。
41x＋355y＝2500 を満たす整数解をすべて求めよ。
6100≦82x＋205y＜6110 を満たす負でない整数解の組み合わせは何通りあるか求めよ。
9人の生徒を4人,3人,2人に分ける分け方は何通りあるか。
9人の生徒を5人,2人,2人に分ける分け方は何通りあるか。
9人の生徒を3人,3人,3人に分ける分け方は何通りあるか。
3つの箱に3個の赤玉を入れる。玉の入れ方は何通りあるか。
3つの箱に赤，白，緑の3個の玉を入れる。玉の入れ方は何通りあるか。
3つの箱Ａ,Ｂ,Ｃに3個の赤玉を入れる。玉の入れ方は何通りあるか。
3つの箱Ａ,Ｂ,Ｃに赤，白，緑の3個の玉を入れる。玉の入れ方は何通りあるか。
3つの箱に6個の赤玉を入れる。玉の入れ方は何通りあるか。
3つの箱に6色の玉を入れる。玉の入れ方は何通りあるか。
3つの箱Ａ,Ｂ,Ｃに6個の赤玉を入れる。玉の入れ方は何通りあるか。
3つの箱Ａ,Ｂ,Ｃに6色の玉を入れる。玉の入れ方は何通りあるか。
3つの箱に6個の赤玉を入れる。どの箱にも少なくとも1個の玉を入れるとき、玉の入れ方は何通りあるか。
3つの箱に6色の玉を入れる。どの箱にも少なくとも1個の玉を入れるとき、玉の入れ方は何通りあるか。
3つの箱Ａ,Ｂ,Ｃに6個の赤玉を入れる。どの箱にも少なくとも1個の玉を入れるとき、玉の入れ方は何通りあるか。
3つの箱Ａ,Ｂ,Ｃに6色の玉を入れる。どの箱にも少なくとも1個の玉を入れるとき、玉の入れ方は何通りあるか。
1×3×5×7×9×11×13×…×95×97×99＝3^n×m（m,n は自然数で、m は 3 で割り切れない）と表すと、n は？
800までの正の整数で、800と互いに素なものは何個あるか？
1998の約数の個数は？ 約数の和は？ ただし、正の整数ａの約数には1とａを含めるものとする。
2桁の正の整数のうち、約数がちょうど10個あるものの中で、最大なものの約数の和は？
a,b,c,d が正の整数で ad－bc＝1 が成り立つとき、a＋c と b＋d が互いに素であることを示せ。
13で割ると余りが2である自然数Ａと13で割ると余りが8である自然数Ｂがある。
このとき、Ａ－Ｂを13で割った余りは？ Ａ＋Ｂを13で割った余りは？
A^2－B^2を13で割った余りは？ A^2＋B^2を13で割った余りは？
1001^4＋2002^4＋3003^4＋4004^4 を 5 で割った余りは？ また、7^7001 を 48 で割った余りは？
3^121 の 1 の位の数字は？
どのような整数 n に対しても、n^2＋n＋1 は 5 で割り切れないことを示せ。
4けたの数abcdは、a－b＋c－d が11の倍数のとき、11の倍数であることを示せ。
5で割ると2余り、7で割ると4余る200以下の自然数の和を求めよ。
6x＋7y＝9 を満たす整数 x,y の中で |x＋y| を最小にする x,y を求めよ。
1/m＋1/n＝1/8（m≦n）を満たす自然数の組（m,n）をすべて求めよ。
7x＋7y＝4xy を満たす自然数の組（x,y）をすべて求めよ。
2つの条件 a^2＋ab＋b^2＝7 . a＞|b| を満たす整数の組（a,b）を求めよ。
5x＋11y＝1 を満たす整数解をすべて求めよ。
5x－11y＝1 を満たす整数解をすべて求めよ。
5x＋12y＝2 を満たす整数解をすべて求めよ。
5x－12y＝2 を満たす整数解をすべて求めよ。
6x－12y＝5 を満たす整数解をすべて求めよ。
3x－12y＝9 を満たす整数解をすべて求めよ。
45x＋32y＝4 を満たす整数解をすべて求めよ。
126x－11y＝1 を満たす整数解をすべて求めよ。
126x－11y＝－1 を満たす整数解をすべて求めよ。
8x＋5y＝1 を満たす整数解をすべて求めよ。
8x＋5y＝17 を満たす整数解をすべて求めよ。
37x＋13y＝1 を満たす整数解をすべて求めよ。
7桁の数 1x540y4 が、72で割り切れるという。このような x,y を求めよ。
8桁の数 25x22341 が、11で割り切れるという。このような x を求めよ。
6桁の整数を前3桁と後3桁の数に分けて、その差が7で割り切れるときに、元の整数も7で割り切れることを示せ。
7^102の十の位の数字を求めよ。
p が3以外の素数であるとき、p^2＋2 は素数ではないことを示せ。
p^2－1 と p^2＋1 がともに10で割り切れないような、5より大きな素数ｐは存在するか。
2から始まって順にｎ番目までの素数の積に1たした数は、平方数になりえないことを示せ。
連続する3個の自然数の立方の和は、つねに9の倍数であることを示せ。
x^2－2y^2＝10 を満たす整数x,y は存在しないことを示せ。
a－b－8 と b－c－8 が素数となるような素数の組（a,b,c）をすべて求めよ。
7x＋3y＝1 を満たす整数解をすべて求めよ。
2x＋25y＝1993 を満たす整数解をすべて求めよ。
5x＋11y＝1 を満たす整数解をすべて求めよ。
5x－11y＝1 を満たす整数解をすべて求めよ。
5x－12y＝2 を満たす整数解をすべて求めよ。
6x－12y＝5 を満たす整数解をすべて求めよ。
3x－12y＝9 を満たす整数解をすべて求めよ。
45x＋32y＝4 を満たす整数解をすべて求めよ。
126x－11y＝1 を満たす整数解をすべて求めよ。
8x＋5y＝1 を満たす整数解をすべて求めよ。
8x＋5y＝17 を満たす整数解をすべて求めよ。
37x＋13y＝1 を満たす整数解をすべて求めよ。
20から50までのすべての自然数の積が7^nで割り切れるとき、最も大きいｎの値はいくつか。
150×n がある自然数の2乗になるような最小の自然数ｎを求めよ。
100から200までの自然数のうち、3でも4でも割り切れないものは、全部で何個あるか。
12との最小公倍数が36であるような自然数をすべて求めよ。
2つの自然数m,nを13で割った余りがそれぞれ11,12である。このとき、積mnを13で割ると余りはいくらか。
3つの整数147,124,77を自然数nで割ったとき、余りがそれぞれ3,4,5になるという。このようなｎは何個あるか。
2つの自然数がある。その最大公約数は7、最小公倍数は168、差は35である。この2つの自然数を求めよ。
1から100までの整数で、3で割れば2余り、8で割れば5余る数の、総和を求めよ。
自然数Ｎが3の倍数でないとき、Ｎ^2を3で割った余りは1であることを証明せよ。
0から1までの間の数で、分母が21の既約分数の個数を求めよ。
1から5までの間の数で、分母が21の既約分数の個数を求めよ。
105/52をかけても、280/39をかけても整数になるような正の分数B/Aのなかで最も小さい数を求めよ。
Ａは4捨5入すると22.0になり、Ｂは4捨5入すると17.3になるという。Ａ－Ｂの値の範囲は。
不等式 abcd＞0、a＜c＜d、abc＜0 がなりたつとき、4つの数a,b,c,dはそれぞれ正か負か。
a＞0、b＞0 のとき、5つの数 a＋b,a－b,a,b,2a－b を大きい順に並べよ。
不等式 1＜x＜2a＋1 を満たすxのうちで、整数値は2だけであるとするとき、aのとる値の範囲を求めよ。
連続する3つの整数がある。一番大きい数と一番小さい数との積は、残りの数の3倍より3だけ大きい。この3つの整数を求めよ。
1冊100円のノートと1冊75円のノートをあわせて12冊以上買って、ちょうど1000円になる買い方は何通りあるか。
1個20円のみかんと1個70円のりんごをあわせて、ちょうど400円になるように買いたい。どのような買い方があるか。
1000円の予算内で、1本30円の鉛筆と、1本50円のペンを買うのに、鉛筆がペンより10本多くなるようにしたい。
ペンは最大何本買えるか。
1個60円の菓子と1個40円の菓子とをあわせて30個買い、50円の箱代も含めて代金を1500円以内にしたい。
60円の菓子は最大何個買えるか。
カキ、リンゴ、ナシ１個の値段はそれぞれ40円、85円、75円である。カキとリンゴあわせて7個以下とナシ3個を、
650円以下で買いたい。買い方は何通りあるか。また、カキを2個以上買うことにすると、買い方の数は何通り減るか。
100円、50円、10円の切手を合計45枚買い、ちょうど900円支払った。この中の50円切手は何枚か。
384㎡の長方形の土地がある。4すみには必ず柱を立て、この土地の周囲に2ｍ間隔の柱を立てて囲んだ。
横に立てた柱の本数は縦に立てた柱の本数の2倍より5本少なかった。この土地を囲むのに必要な柱の本数を求めよ。
石がある。これを正方形に並べると15個余る場合と、4個不足する場合ができた。石の数を求めよ。
ある会の団体入場料は、60人未満は2割5分引き、60人以上は3割引きである。
60人未満の団体で60人として入場料を払った方が料金が安くなるのは何人以上のときか。
Ａ，Ｂ，Ｃの3人が共同で家を建て、Ａは土地代、Ｂは建築費、Ｃは設計料を支払ったが、
あとで、全費用を平等に分担することになり、ＣはＡに240万円、Ｂに90万円返した。
土地代は設計料の5倍と建築費の和に等しかった。土地代、建築費、設計料を求めよ。
ある試験で合格率は25％であった。
合格の基準点は、合格者の平均点より18点少なく、不合格者の平均点よりも22点多いところに定められていた。
全受験者の平均点は60点であった。合格の基準点は何点か。
50人の生徒がA,B2つの試験を受けた。Aの合格者は全体の80％、Bの合格者は全体の70％、A,B両方不合格の生徒が5人であった。
A,B両方に合格した生徒は何人か。
2種類の金属Ａ，Ｂでできている重さ120ｇの合金がある。水中ではかると、合金は109ｇあり、重さ15ｇの金属Ａは2ｇ軽くなり、
重さ35ｇの金属Ｂは3ｇ軽くなる。合金に含まれる金属Ａ，Ｂのそれぞれの重さを求めよ。
10％の食塩水1360ｇに食塩を加えて15％以上20％以下の食塩水を作りたい。加える食塩の量の範囲を求めよ。
濃度12.5％の食塩水10kgから、ｘkg取り出し、残りに水を入れ、元通り10kgにする。
次によくかき混ぜてから、またｘkg取り出し、残りに水を入れて10kgにしたら、濃度4.5％の食塩水になった。ｘの値を求めよ。
3％,5％,8％の食塩水がある。この3種の食塩水からそれぞれ、xｇ,yｇ,zｇをとり、混ぜ合わせたところ、6％の食塩水が120ｇできた。
ｚのとりうる値の範囲を求めよ。
濃度の異なる2種類の食塩水Ａ，Ｂを混ぜて9％の食塩水360ｇを作るつもりであったが、
ＡとＢの量を取り違えたために13％の食塩水ができた。
Ａの濃度を7.4％としてＡの正しい量を求めよ。
周囲1ｋｍの池のまわりをA,B2人が同時に同じ地点を出発して反対方向に歩いたら、10分ごとに出会うという。
A,Bの時速をそれぞれx,yｋｍとするとき、xとyの関係式を作れ。
3台の車A,B,Cが同地点から同方向に向かって、それぞれ一定の速度でC,B,Aの順に出発した。
BはCより５分遅れて出発し、20分後にCに追いついた。AはBより10分遅れて出発し、40分後にCに追いついた。
AがBに追いつくには何分かかるか。
Ａが5歩で進む距離をＢは3歩で進み、Ａが5歩行く時間にＢは4歩行く。いま、Ａが20歩進んだとき、ＢがＡの後を追うとすれば、Ｂは何歩で追いつくか。
タクシーの中型車の乗車料金は、はじめの2ｋｍまでは280円で、その後は455ｍ増すごとに50円ずつ増加する。
いまＡ地点からＢ地点に向かって300ｍ歩いた地点からＢ地点まで乗車しても930円であるという。
ＡＢのちょうど中間の地点ＣからＢ地点まで乗車すれば料金はいくらか。
男子生徒24人、女子生徒20人のクラスで、兄のある生徒が22人いる。
兄のある男子生徒をｘ人とするとき、ｘの取りうる値の範囲を求めよ。
4人の投手。2人の捕手、5人の内野手、5人の外野手のいる野球チームがある。
この中から、1人の投手、1人の捕手、4人の内野手、3人の外野手を選ぶ方法は何通りあるか。
りんご9個、みかん3個がある。A,B,Cの3人にこの果物を4個ずつ分ける分け方は何通りか。
2直線l,m（l//m）上にそれぞれ4個、3個の点がある。これら7個の点のうちの3個を頂点とする3角形はいくつあるか。
円周を12等分する12個の点から3点をとって3角形を作るとき、直角三角形は何個できるか。
内角が15、30、135度である三角形は何個できるか。
円周を6等分する6個の点から3点をとって3角形を作るとき、鈍角三角形は何個できるか。
正8角形の1つの頂点を出発点とし、サイコロをふって出た目の数だけ時計回りに頂点を移動するとき、3回ふって元の位置にくる確率を求めよ。
円に内接する正6角形がある。6つの頂点と円の中心Ｏの7つの点のうち、2点以上を通る直線の個数を求めよ。
また、7つの点のうち、3点を頂点とする3角形の個数を求めよ。
ｎ角形の対角線の数を求めよ。対角線の数が44本であるような多角形は何角形か。
3,5,7,9の4個の数字から、2個の数字を選んで2けたの整数を作るとき、できた整数の総和を求めよ。
5枚のカード1.2.3.4.5から3枚を取り出して3けたの整数を作るとき、各位の数の和が3の倍数となるものは何個できるか。
5枚のカード1.2.3.4.5から3枚を取り出して3けたの整数を作るとき、できた異なる整数の総和を求めよ。
6枚のカード1.2.3.4.5.6から4枚を取り出して4けたの整数を作るとき、小さい順で160番目にくる整数を求めよ。
3本のくじのうちで2本が当たりくじである。この3本から2本をひくとき、2本とも当たる確率を求めよ。
赤、白、黒の玉がそれぞれ3,2,4個入った袋から3個取り出すとき、赤、白、黒が1個ずつである確率を求めよ。
赤、白、黒の玉がそれぞれ4,3,5個入った袋から3個取り出すとき、3玉とも同色である確率を求めよ。
2つのサイコロを同時に投げるとき、目の和が7になる確率と、目の和が8になる確率は、どちらが大きいか。
2つのサイコロを同時に投げるとき、出る目の数の差が2となる確率を求めよ。
2つのサイコロを同時に投げるとき、出る目の数が違う確率を求めよ。
1から20までの番号をつけた正20面体のサイコロ2個を投げたとき、番号が両方とも素数になる確率を求めよ。
Ａ,Ｂ2人がサイコロを同時に投げ、目の数が大きい方を勝ちとする。
サイコロの目は、Ａ＝1～6、Ｂ＝3～8である。1回で勝負が決まらず、2回目にＡが勝つ確率を求めよ。
2つの正6面体のサイコロＡ,Ｂがある。Ａの目は、1,2,2,3,3,3、Ｂの目は、1,2,3,4,5,6となっている。
2つのサイコロを同時に投げるとき、Ｂの目がＡの目より大きくならない確率を求めよ。
赤，白2つの正四面体がある。それぞれの正四面体の各面には、1,2,3,4の数字が1つずつ書き込まれている。
この2つの正四面体を投げるとき、側面の数の和が、底面の数の和の3倍以上となる確率を求めよ。
3つの箱Ａ,Ｂ,Ｃに赤，白，緑の3個の玉を入れる。1つの箱だけが空き箱となる確率を求めよ。
3つの箱Ａ,Ｂ,Ｃに3個の赤玉を入れる。1つの箱だけが空き箱となる確率を求めよ。
1袋の予算が200円以内で、ガムとチョコレートを入れた袋詰めを作る。
ただし、ガムは1個30円、チョコレートは1個40円で、1袋にはガムもチョコレートも最低1個ずつは、入れることにする。
1袋をもらったとき、チョコレートが2個入っている確率を求めよ。
x,y,zの最小公倍数が108で、5x－3y＋7z＝0、x＝4zという関係式が成り立つとき、x,y,zの値を求めよ。
1/a＋1/b＋1/c＝1となるような自然数a,b,cの組をすべて求めよ。ただし、a≧b≧cとする。
1234567891011121314…のように自然数を並べて書いたとき、最初から数えて1986番目の数字は何か。
A,B,C3つの袋があり、そのどれにも1～10までの番号を書いた札10枚が入っている。
おのおのの袋から1枚ずつ勝手に取り出したとき、取り出された3枚の札の最高の番号が6である確率を求めよ。
A,B2つの袋があり、Aには白玉3個、赤玉2個、Bには白玉1個、赤玉6個が入っている。
それぞれから同時に1個取り出し、Aからの玉をBに、Bからの玉をAに入れる。
この結果が最初と変わらない確率を求めよ。
点Aは原点の位置にある。いま硬貨を投げて表が出ればx軸の方向に+1だけ進み、裏が出ればy軸の方向に+1だけ進む。
5回投げるとき、Aが(2,3/2)を通る確率を求めよ。
硬貨を投げて表が出たら階段を2段上り、裏が出たら1段上がることにする。
1段目をふむ確率は1/2、2段目をふむ確率は3/4である。3段目をふむ確率を求めよ。
硬貨を投げて表が出たら階段を2段上り、裏が出たら1段上がることにする。
4段目をふむ確率は11/16、5段目をふむ確率は21/32である。7段目をふむ確率を求めよ。
1001^4＋2002^4＋3003^4＋4004^4 を 16 で割った余りを求めよ。
1001^4＋2002^4＋3003^4＋4004^4 を 13 で割った余りを求めよ。
1001^4＋2002^4＋3003^4＋4004^4 を 12 で割った余りを求めよ。
1001^4＋2002^4＋3003^4＋4004^4 を 11 で割った余りを求めよ。
1001^4＋2002^4＋3003^4＋4004^4 を 10 で割った余りを求めよ。
1001^4＋2002^4＋3003^4＋4004^4 を 9 で割った余りを求めよ。
1001^4＋2002^4＋3003^4＋4004^4 を 8 で割った余りを求めよ。
1001^4＋2002^4＋3003^4＋4004^4 を 7 で割った余りを求めよ。
1001^4＋2002^4＋3003^4＋4004^4 を 6 で割った余りを求めよ。
1001^4＋2002^4＋3003^4＋4004^4 を 5 で割った余りを求めよ。
1001^4＋2002^4＋3003^4＋4004^4 を 4 で割った余りを求めよ。
1001^4＋2002^4＋3003^4＋4004^4 を 3 で割った余りを求めよ。
1001^4＋2002^4＋3003^4＋4004^4 を 2 で割った余りを求めよ。
1001^6＋2002^7＋3003^8＋4004^9 を 11 で割った余りを求めよ。
1001^6＋2002^7＋3003^8＋4004^9 を 10 で割った余りを求めよ。
1001^6＋2002^7＋3003^8＋4004^9 を 9 で割った余りを求めよ。
1001^6＋2002^7＋3003^8＋4004^9 を 8 で割った余りを求めよ。
1001^6＋2002^7＋3003^8＋4004^9 を 7 で割った余りを求めよ。
1001^6＋2002^7＋3003^8＋4004^9 を 6 で割った余りを求めよ。
1001^6＋2002^7＋3003^8＋4004^9 を 5 で割った余りを求めよ。
1001^6＋2002^7＋3003^8＋4004^9 を 4 で割った余りを求めよ。
1001^6＋2002^7＋3003^8＋4004^9 を 3 で割った余りを求めよ。
1001^6＋2002^7＋3003^8＋4004^9 を 2 で割った余りを求めよ。