|2x－3|＝[x] を満たす x を求めよ。ただし、[x] は x を超えない最大の整数を表す。
xに関する不等式 x^2－px＋1＜0 が 3個以上4個以下の整数値の解xを持つような整数値pを求めよ。
x,y,z を負でない整数とする。x＋2y＋4z＝8 を満たす (x,y,z) の組の個数を求めよ。
x,y,k を負でない整数とする。x＋2y＝4k を満たす (x,y) の組の個数を求めよ。
x,y,z,n を負でない整数とする。x＋2y＋4z＝4n を満たす (x,y,z) の組の個数を求めよ。
ｎを自然数とする。2x＋y≦5n , x－2y≦0 , x≧0 を同時に満たす整数の組（x,y）の個数を求めよ。
ｎを自然数とする。2^2≦x＜2^3 , 0＜y≦log_{2}(x) を同時に満たす整数の組（x,y）の個数を求めよ。
ｎを自然数とする。2^n≦x＜2^(n+1) , 0＜y≦log_{2}(x) を同時に満たす整数の組（x,y）の個数を求めよ。
ｎを自然数とする。2^1≦x＜2^(n+1) , 0＜y≦log_{2}(x) を同時に満たす整数の組（x,y）の個数を求めよ。
x,y,n を負でない整数とする。x/3＋y≦n を満たす (x,y) の組の個数を求めよ。
(1)(3,5)(7,9,11,13)(15,17,19,21,23,25,27,29)(31,33,・・・ のとき、第n番目の群の、項数と初項を求めよ。
(2)(4,6)(8,10,12)(14,16,18,20)・・・ のとき、100は第何群の何番目の項であるか。
2014^10 の十の位の数字を求めよ。ただし必要ならば、7^9＝40353607、7^10＝282475249 を用いてもよい。
2014^10 の十万の位の数字を求めよ。ただし必要ならば、7^9＝40353607、7^10＝282475249 を用いてもよい。
2014^10 の上３桁の数字を求めよ。ただし必要ならば、7^9＝40353607、7^10＝282475249 を用いてもよい。
1,2,4,8,11,13,16,17,19,22,23,26,29,・・・について、第何項で初めて105を超えるか。初項から第100項までの和を求めよ。
自然数Ｎのすべての正の約数の和は、60であるという。このようなＮは何個あるか。
Ｎ＝100！とするとき、Ｎの末尾には0がいくつ並ぶか。
Ｎ＝100！とするとき、Ｎの桁数は100桁より多く、200桁以下であることを示せ。
Ｎ＝100！とするとき、Ｎと50^100のどちらが大きいか。
「ｎを2より大きい自然数とするとき、x^n＋y^n＝z^n を満たす整数解 x,y,z (xyz≠0) は存在しない。」
というのはフェルマーの最終定理として有名である。しかし多くの数学者の努力にも関わらず一般に証明されていなかった。
ところが1995年にこの定理の証明がワイルスの100ページを超える大論文と、テイラーとの共著論文により与えられた。
当然 x^3＋y^3＝z^3 を満たす整数解 x,y,z (xyz≠0) は存在しない。
フェルマーの定理を知らないものとして、次を証明せよ。
x,y,zを0でない整数とし、もしも等式 x^3＋y^3＝z^3 が成立するならば、x,y,z のうち少なくとも1つは3の倍数である。
実数x,y について、x＋y,xy が共に偶数とする。自然数ｎに対して、x^n＋y^n は偶数となることを示せ。
整数以外の実数の組(x,y)の例を示せ。
5x－11y＝1 を満たす自然数の組(x,y)のうち、xの値が0に近いほうから9番目の組を求めよ。
37x＋23y＝1 を満たす整数の組(x,y)のうち、yの値が40に最も近い組を求めよ。
ｎを正の整数とするとき、不等式 4|x|＋3|y|≦12n を満たす組(x,y)のうち、xとyが共に整数である組の総数を求めよ。
mx^2＋5(m＋1)x＋4(m＋2)＝0 が有理数の解をもつとき、整数ｍの値を求めよ。
x^3－3x－1＝の解aについて次のことを示せ。
1.aは整数ではない。
2.aは有理数ではない。
3.aはp＋q√3（p,qは有理数）の形で表せない。
等式(x^2－ny^2)(z－nt^2)＝(xz＋nyt)^2－n(xt＋yz)^2を示せ。
x^2－2y^2＝－1の自然数解(x,y)が無限組であることを示し、x＞100となる解を一組求めよ。
三角形ABCと三角形A'B'C'において、AB＝A'B'＝1,AC＝A'C'＝x,∠BAC＝60°,∠B'A'C'＝120°とする。
1.(B'C')^2/(BC)^2をxを用いて表せ。
2.(B'C')^2/(BC)^2が整数となるxをすべて求めよ。
[a]はa以下の整数のなかで最大のものを表す。
[2.6][3][-1.6]を求めよ。
y＝[x]のグラフをかけ。
不等式[x]^2－8[x－0.5]＋7＜0を満たすxの範囲を求めよ。
正の整数kに対して、akを√kに最も近い整数とする。例えば、a5＝2,a8＝3,a20＝4である。
1.a1＋a2＋・・・＋a12を求めよ。
2.a1＋a2＋・・・＋a2015を求めよ。
座標平面上において、格子正六角形は存在しないことを示せ。
座標空間において、格子正六角形の例を1つ挙げよ。また、そのうち面積が最小となるものの面積を求めよ。
自然数qをq＝(2^r)*p（rは0以上の整数、pは奇数）と表す。log(2)qが有理数ならばp＝1であることを示せ。
自然数a,bに対して、log(4)a＝k＋m,log(4)b＝L＋nとおく。ただし、K,Lは整数で、m,nは0≦m＜1,0≦n＜1である。
このとき、m＋nは0,1/2,1または無理数であることを示せ。
ｍを正の整数とする。このとき、n＝m＋1,m＋2・・・に対してΣ(k=m+1,n) k-1/k!＝1/m!－1/n!が成り立つことを示せ。
m,nは2≦m≦nを満たす整数とする。また、ak,bk(m≦k≦n)は0≦ak＜k,0≦bk＜kを満たす整数で、(k=m,n) ak/k!＝(k=m,n) bk/k!が成り立っているとする。
このとき、ak＝bk(m≦k≦n)であることを示せ。
2x^2－y^2＝9 を満たす整数 x,y は3の倍数であることを証明せよ。
21x^2－10y^2＝9 を満たす整数 x,y は存在しないことを証明せよ。
数列11,1001,100001,10000001,…について、この数列の項はみな11の倍数であることを証明せよ。
数列11,1001,100001,10000001,…について、この数列の中の7の倍数を一般的に表せ。
a^1,a^2,a^3,・・・をpで割った余りとして得られる数列は、繰り返しになる。
２次方程式 x^2＋(m－11)x＋m＝0 が自然数の解を持つような整数mの値をすべて求めよ。
２次関数 f(x)＝ax^2＋bx がある。
ある整数kに対してf(k－1),f(k),f(k＋1)が整数となるとき、すべての整数nに対してf(n)は整数であることを示せ。
関数 f(x)＝(x^2＋3x＋9)/(x^2－3x＋9) の値が整数となるxの値を求めよ。
方程式 [x]＝[x^2/2] の解を求めよ。
10円、50円、100円の硬貨でちょうど400円を支払う場合の数を求めよ。
10円、50円、100円の硬貨でちょうど10000円を支払う場合の数を求めよ。
5x＋4y≦200,x≧0,y≧0 を満たす整数の組(x,y)の個数を求めよ。
nを3以上の自然数とする。n!－1の1より大きい約数はnより大きいことを示せ。
nを3以上の自然数とする。n＜p＜n! を満たす素数pが存在することを示せ。
3で割ると2余る素数は無限に存在することを証明せよ。
p,q,r,sが有理数であるとき、次の問いに答えよ。ただし、必要なら√2,√3,√6が無理数であることを用いてもよい。
1.aが無理数のとき、pa＝qならばp＝q＝0であることを示せ。
2.√2＋√3＝rならばp＝q＝r＝0であることを示せ。
3.√2(p＋√3q)＝r＋√3sならばp＝q＝r＝s＝0であることを示せ。
4.√2p＋√3q＋√6r＝sならばp＝q＝r＝s＝0であることを示せ。
5.f(x)＝px^3＋qx^2＋rx＋sがf(√2＋√3)＝0を満たすならばp＝q＝r＝s＝0であることを示せ。
素数pおよび自然数nに対し、N＝1＋p＋p^2＋…＋p^nとおく。
(1) N＜p^(n+1)を示せ。
(2) n以下の自然数kに対し、集合{1,2,…,N}に属する数の中、p^kの倍数であるものの個数m(k)を求めよ。
(3) p^mがN！の約数であるような最大の整数mを求めよ。
log_{2}(x)＋log_{2}(y)＋log_{2}(z)＝1＋log_{2}(x＋y＋z)を満たす整数の組(x,y,z)でx≦y≦zであるものをすべて求めよ。
log_{2}(ax)＋log_{2}(by)＋log_{2}(cz)＝1＋log_{2}(ax＋by＋cz)を満たす整数の組(x,y,z)が存在するような
正の整数の組(a,b,c)は全部で何通りあるか。
自然数qをq＝a(m)・2^m＋a(m-1)・2^(m-1)＋…＋a(1)・2＋a(0)
（mは0以上の整数、a(i)は0または1）という形で表したとき、aiのうちで1であるものの個数をt(q)と書くことにする。
たとえば、11＝1*2^3＋0*2^2＋1*2＋1であるから、t(11)＝3、また、16＝2^4であるから、t(16)＝1である。
以下の問いに答えよ。ただし、nは自然数とする。
(1)t(15),t(2^n－1)をそれぞれ求めよ。
(2)0以上の整数に対して、t(2^r*q)＝t(q)が成り立つことを示せ。
(3)t(q)＝2のとき、t(q^2)の値を求めよ。
(4)N＝2^nとし、bn＝Σ(q=1,N)t(q)とおく。bnをnの式で表せ。
a,bは整数で、a≧2,b≧2とする。ax(0)＋by(0)＝1を満たす整数x(0),y(0)があるとき、
1.整数nについて、x＝x(0)＋bn,y＝y(0)－anとおけば、ax＋by＝1を満たすことを示せ。
2.整数x(1),y(1)で、ax(1)＋by(1)＝1、lx(1)l＜b、ly(1)l＜aを満たすものがあることを示せ。
自然数nに対して、(3√2＋4)^n＝k＋a、ただし、kは整数、0≦a＜1とする。nが奇数のとき、a＝(3√2－4)^nとなることを示せ。
２次関数 f(x)＝(a＋2)x^2－2(a^2＋2)x＋1 において、aを2以上の整数とする。
xに整数値を代入したとき、f(x)の値が最も小さくなるようなxの値をnとするとき、nをaを用いて表せ。
百の位がx、十の位がy、一の位zがであるような3桁の整数nを考える。ただし、x≦y≦zとする。
(1)等式1/x＋1/y＋1/z＝1を満たすnをすべて求めよ。
(2)不等式1/x＋1/y＋1/z＜1を満たすの中で、1/x＋1/y＋1/zを最大にするnと、その時の1/x＋1/y＋1/zの値を求めよ。
(1)(4,7,10)(13,16,19,22,25)・・・ のとき、第10群の第5項目を求めよ。また、1000は第何群の何番目の項であるか。
(1)(1,3)(1,3,5,7)(1,3,5,7,9,11,13,15)・・・ のとき、第450項を求めよ。また、第n群の和を表せ。