楕円積分

てんさま
∫[0, 1/2] (1 - x^3)^(-1/2) dx
先生にこんな問題を出されたのですが・・・
先ず, これは高校数学で解けるのでしょうか？
そして, これの解き方と答を教えてください。
（大学の数学でもかまいません。）
お願いします（＞＜）
No.13418 2010/11/10(Wed) 06:56:59

---

解答:
無理。
超幾何級数で答が書かれている。
そもそも楕円積分だし。
∫₀^1/2dx/√(1 - x²) = π/6 の間違いじゃないの?
その不定積分

実数解の個数

質問 <3804> 2010/11/1 from=JK
「実数解」

任意の実数 a に対して, x^3 - 2x - a(x^2 - 1) = 0 は 3 つの実数解をもつことを示せという問題があるのですが, わからないので教えてください。

---

解答:
a = (x^3 - 2x)/(x^2 - 1)
なので y = (x^3 - 2x)/(x^2 - 1) = x - x/(x^2 - 1) と置く。
y' = (x^4 - x^2 + 1)/(x^2 - 1)^2 = (x^2 - (√3)x + 1)(x^2 + (√3)x + 1)/(x^2 - 1)^2
x^2 ± (√3)x + 1 = 0 の判別式は D = 3 - 4 = -1 ＜ 0.
従って y' > 0 である。
漸近線は x = ±1 と y = x で, しかも
y(±1 - 0) = -∞, y(±1 + 0) = ∞
だから丁度三つの実数解を持つ。
因みにグラフはこんな感じ。

---

お便り 2010/11/8 from=平　昭
こんばんは。 三次関数 = 0, という方程式が三つの実解を持つ, というのをイメージとしてどう捕らえるかですね。
グラフを考えると (この場合は 三次の係数 > 0 ですから), 値が遠い左下 (負の無限大) からずーっと増えてきて, 0 を超えたところで減り始め, 一回は 0 より小さくなってから, また増え出して正の無限大へ, という形になれば実解三つになります。
つまり, 三次関数の値が 「負→正→負→正」 と変化すれば OK. これを数式でどう表現するか、と考えると, 次のような解答が浮かびました。
(尚こういう時は, 定数 a の値に関係なく言えることはないか, と考えるのがコツの一つです。 具体的に解を a で表そう, 等と考え出すと大変ですが, 問題はそんな要求をしていません。)
f(x) = x^3 - 2x - a(x^2 - 1) と置く。
f(-1) = 1 > 0, f(1) = -1 < 0.
(1 と -1 は, a で括られた括弧の中が 0 になる値として選びました。 これで, 上で説明した変化の真中の部分 「正→負」 が出来たわけです。)
一方, f(x) は三次の係数が正の三次関数であるから, 十分に大きな正の数 K > 1 を一つ選んで,
f(-K) < 0, f(K) > 0 となるように出来る。
書き直すと
-K < -1 < 1 < K
f(-K) < 0, f(-1) = 1 > 0, f(1) = -1 < 0, f(K) > 0
である。
ここで, f(x) は連続関数であるから, 中間値の定理 (★これがこの解答のポイントです) より
方程式 f(x) = 0 は 開区間 (-K, 1), (-1, 1), (1, K) のそれぞれに, 少なくとも一つずつの実解を持つ。
つまり, 実解の数は三個以上となる。 一方, 三次方程式が四つ以上の解を持つことはない。
よって, この方程式は三個の実解を持つ。

置換積分

いろいろ試してみたんですが・・・ 投稿者: めぐ
投稿日: 2010 年 10 月 21 日 (木) 17 時 29 分 8 秒

これが解けずに困っています。
答えはあるんですが, 途中の解き方がまったく書いていません・・・
∫1/(x√(x^2 + 2x - 1)) dx

---

解答:
√ の中が実数の範囲で因数分解出来るところから考えて
http://www.geocities.jp/phaosmath/int2/method/irrational.htm
の [1] の (1) 辺りを使うと
は, x^2 + 2x - 1 = 0 と置くと, x = -1 ± √2 なので α = -1 - √2, β = -1 + √2 として
t = √((x - β)/(x - α)
と置く。 そうすると
x = (αt^2 - β)/(t^2 - 1),
x^2 + 2x - 1 = 8t^2/(t^2 - 1)^2,
dx = (4(√2)t dt)/(t^2 - 1)^2
となるので
∫dx/(x√(x^2 + 2x - 1)) = ∫2dt/(αt^2 - β)
因みにここにも同じ問題が質問されていて, 別の解答がなされています。
何れにしても, 積分の結果を, 簡単な形
tan^(-1)((x - 1)/√(x^2 + 2x - 1) + C
に持って行くのは簡単ではないと思われます。

π^2 の無理性

数学オリンピック事典
基礎 1. 8. 29.
(a) h が 0 でない有理数の時, e^h は無理数であることを証明せよ。
(b) π は無理数であることを証明せよ。

---

解答:
(a) 先ず, h が自然数の場合を考える。
f(x) = xⁿ(1 - x)ⁿ/n! と置く。
0 < x < 1 の時 0 < f(x) < 1/n! (1)
である。 又, c<sub>r = (-1)^r_2nC_{r - n} ∈ Z  (n ≦ r ≦ 2n) として,
f(x) = Σ_{r = n}²ⁿ c_rx^r/n!
であるから, その第 r 階導函数について
f^(r)(0) = r!c_rn! ∈ Z  (n ≦ r ≦ 2n)
f^(r)(0) = 0 (otherwise)
となる。 同様に f(1 - x) = f(x) だから, 任意の非負整数 r に対し f^(r)(1) ∈ Z  である。 又, f^{(2n + 1)}(x) = 0 である。
さて,
F(x) = Σ_{r = 0}²ⁿ (-1)^rh^{2n - r}f^(r)(x)
を考える。 上記より F(0) も F(1) も整数である。
(d/dx)(e^hxF(x)) = e^hx(hF(x) + F'(x))
= e^hx(Σ_{r = 0}²ⁿ (-1)^rh^{2n + 1 - r}f^(r)(x) +Σ_{r = 1}^{2n + 1} (-1)^{r + 1}h^{2n + 1 - r}f^(r)(x))
= e^hx(h^{2n + 1}f(x) + f^{(2n + 1)}(x))
= e^hxh^{2n + 1}f(x).
これを積分して,
h^{2n + 1}∫₀¹ e^hxf(x) dx
= e^hF(1) - F(0) … (2)
を得る。
もしも e^h が有理数で, 互に素な a, b によって e^h = a/b と表せたとすると (2) により
bh^{2n + 1}∫₀¹ e^hxf(x) dx = aF(1) - bF(0) … (3)
であるが, (1) により
0 < ∫₀¹ e^hxf(x) dx < (1/n!)∫₀¹ e^hx dx = (1/n!)(e^h - 1)/h
であるから,
bh^{2n + 1}∫₀¹ e^hxf(x) dx < (a - b)h²ⁿ/n! … (4)
となる。
ここで n >> 1 を整数とすると, (4) の右辺は 1 より小さいから (3) と矛盾。 従って, h が自然数の時, e^h は無理数。
次に, h が負の整数の時を考えると e^-h = 1/e^h が無理数なので, 当然 e^h も無理数。
最後に h が有理数で, 互に素な p, q をもって h = p/q と書かれる場合には (e^h)^q = e^p が無理数なので, e^h は有理数ではあり得ない。
(b) π が有理数であると仮定すると, 当然 π² も有理数である。 互に素な a, b をもってπ² = a/b と書かれたとする。 (a) で用いた f(x) によって
G(x) = bⁿΣ_{r = 0}ⁿ (-1)^rπ^{2n - 2r}f^(2r)(x)
と置く。 G(0) も G(1) も共に整数であり, (a) と同様の計算によって
(d/dx)(G'(x)sin πx - πG(x)cos πx)
= (G''(x) + π²G(x))sin πx
= bⁿπ^{2n + 2}f(x)sin πx
= π²aⁿ f(x)sin πx
となる。 これを積分して
π∫₀¹ aⁿf(x)sin πx dx = [(G'(x)sin πx - πG(x)cos πx)/π] ₀¹
= G(1) - G(0)
となるが, (a) の (1) により
0 <π∫₀¹ aⁿf(x)sin πx dx < (πaⁿ/n!)∫₀¹ sin πx dx = 2aⁿ/n!
であるので, n >> 1 とすると, G(1) - G(0) が整数でなくなって矛盾する。 従って, π² と π は共に無理数である。

函数の決定

大学への数学で 2010/09/08(Wed) 23:10:09 No.10690

別の解法がないでしょうか。
a, b は定数, a > 0, 関数 f(x) = (x - b)/(x^2 + a)の最大値が 1/6, 最小値が -1/2 となるような a, b の値を求めよ。 ロピタルの定理を使わない解法を考えています。

bun

---

って言うか, これって l’Hospital の定理を使う?
解答:
f'(x) = -(x² - 2bx - a)/(x² + a)².
零点は x = b ± √(b² + a). 増減表を書けば, + の方で最大, - の方で最小になることが分かるので, 連立方程式を解くと, a = 3, b = 1.

(解くのには Maxima を用いて, x = a, y = b, z = √(b² + a) として,
x + y^2 - z^2 = 0,
6・z = (y + z)^2 + x,
2・z = (y - z)^2 + x
を入力。 その結果

algsys([x + y^2 - z^2 = 0, 6*z = (y + z)^2 + x, 2*z = (y - z)^2 + x], [x, y, z]);
(%o1) [[x=-%r1^2,y=%r1,z=0],[x=3,y=1,z=2]]

勿論, Maxima を使わなくても, 展開して, 差を取るなどして b = 1 が直ぐに分かる。)

---

Re: 大学への数学で2010/09/10(Fri) 14:55:09 No.10691
略解
1/f(x) = x - b + (a + b^2)/(x - b) + 2b
x > b のとき 1/f(x) ≧ 2√(a + b^2) + 2b = 6
x 豆