Euler 型二階常微分方程式

質問者: sonping 二階常微分方程式の解法について
数学の高校教員で, 現在も大学レベルを学習中です。
ｘ＾２・ｙ(２回微分）－５ｘ・ｙ(１回微分）＋８ｙ＝exp(x)
の二回常微分方程式の解を教えていただけませんか？
同伴方程式の解ｙ１とｙ２はもとまりますが、特殊解ｙ0は
ロンスキアンWにもちこむと、指数積分の形になります。
どなたか、よろしくお願いいたします。
質問投稿日時: 09/10/28 11:05 質問番号: 5402999

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解答
これは Euler の微分方程式として知られている type の微分方程式である。
例えばここを参照。
常套手段として x = e^t と変換する。
dt/dx = d log x/dx = 1/x なので
y' = (dt/dx)(dy/dt) = (1/x)dy/dt.
y'' = (d/dx)((1/x)dy/dt) = -(1/x²)dy/dx + (1/x)(dt/dx)d²y/dt²
　= (1/x²)(d²y/dt² - dy/dt)
なので, 元の方程式は
d²y/dt² - 6dy/dt + 8y = t
と変換される。
同伴方程式の一般解は
y = C₁e^2t + C₂e^4t
　= C₁x² + C₂x⁴
しかし, 特殊解を一つ求めねばならないのだが, Wolfram Alfa に入れて調べてみると結果は
y(x) = c_2 x^4+c_1 x^2+(x^4 Ei(x))/48-(x^2 Ei(x))/4-(e^x x^3)/48-(e^x x^2)/48+(5 e^x x)/24+e^x/8
という事で, どうしても指数積分 Ei(x) を避けることが出来ないという事が判明した。

一階線型常微分方程式

微分方程式
名前: ぴっぴかちゅー 日付: 10 月 17 日 (土) 19 時 1 分
y' + y*tanx = 1/cosx, y(0)=1

この微分方程式がわかりません。
詳しく解説してください!! お願いします!!
7a984005c.oct-net.ne.jp
Mozilla/4.0 (compatible; MSIE 8.0; Windows NT 5.1; Trident/4.0; YTB720; GTB6; .NET CLR 1.1.4322; .NET CLR 2.0.50727; .NET CLR 3.0.4506.2152; .NET CLR 3.5.30729)

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解答
齊次線型常微分方程式 y' + y tan x = 0 を解く。
dy/dx = -y tan x
∫dy/y = -∫sin x/cos x dx
log y = log(C cos x)
故, y = C cos x.
そこで, 元の常微分方程式の両辺に 1/cos x を掛ける。
y'/cos x + ysinx/cos²x = 1/cos²x
従って (y/cos x)' = 1/cos²x.
y/cos x = tan x + C
y = sin x + C cos x, C: 任意定数
x = 0 を代入すると y(0) = C = 1 なので
y = sin x + cos x.